[论文解读] RANK-ONE APPROXIMATION OF JOINT SPECTRAL RADIUS OF FINITE MATRIX FAMILY ∗

Jun Liu, Mingqing Xiao|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2011

Matrix Theory and Algorithms参考文献 35被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于奇异值分解（SVD）的秩一逼近框架，用于计算有限矩阵族的联合谱半径。它为秩一矩阵族建立了显式公式，并通过低秩逼近方法推导出一般矩阵的联合谱半径的新表征，经由经典算例的数值模拟得到验证。

ABSTRACT

In this paper, we show that any finite set of rank-one matrices satisfies the finite- ness property under the linear programming framework. An explicit formula for the computation of joint/generalized spectral radius for this class of matrix family is derived. We further study finite sets of general matrices through constructing rank-one approximations based on singular value decom- position (SVD) and a new characterization of joint/generalized spectral radius is obtained. Several well-known examples as well as their numerical simulations are provided to illustrate the theoretical outcomes.

研究动机与目标

• 在线性规划框架下，建立有限秩一矩阵集的有限性性质。
• 为秩一矩阵族的联合/广义谱半径推导显式解析公式。
• 通过SVD构造的秩一逼近，将分析扩展至一般矩阵族。
• 基于低秩逼近技术，提供联合谱半径的新表征。

提出的方法

• 利用奇异值分解（SVD）构造一般矩阵的秩一逼近。
• 将联合谱半径的计算表述为秩一矩阵族的线性规划问题。
• 应用有限时间稳定性性质，证明秩一矩阵集的有限性条件。
• 基于矩阵族的奇异值，推导联合谱半径的显式闭式表达式。
• 通过聚合秩一逼近误差，构建广义谱半径的表征。
• 通过基准矩阵族的数值模拟验证理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在在线性规划框架下，每个有限秩一矩阵集是否都满足有限性性质？
• RQ2 能否为有限秩一矩阵族的联合谱半径推导出显式公式？
• RQ3 通过基于SVD的秩一构造，一般矩阵族的联合谱半径能多准确地被逼近？
• RQ4 基于秩一逼近方法，联合谱半径的何种新表征得以浮现？
• RQ5 已知矩阵族的数值模拟如何支持理论发现？

主要发现

• 所有有限秩一矩阵集在在线性规划框架下均满足有限性性质。
• 为秩一矩阵族推导出联合谱半径的显式闭式公式。
• 通过基于SVD的秩一分解，一般矩阵族的联合谱半径可被有效逼近。
• 通过低秩逼近技术，建立了联合谱半径的新理论表征。
• 对知名矩阵族的数值模拟证实了所提方法的准确性和适用性。
• 该方法为现有联合谱半径计算方法提供了一种计算上可行且理论严谨的替代方案。