[论文解读] Rank Two Bound Entangled States Do Not Exist

Paweł Horodecki, John A. Smolin+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 1999

Quantum Information and Cryptography被引用 6

一句话总结

本文通过建立密度矩阵的秩、其约化密度矩阵的秩（边缘秩）与可提纯性之间的联系，证明了秩为二的束缚纠缠态不存在。关键贡献在于提出了一项结构约束：秩为n的束缚纠缠态必须被支持在至多n×n的希尔伯特空间上，该约束排除了秩为二的例子，并表明任意纯纠缠态与纯乘积态的混合态均为可提纯的。

ABSTRACT

We explore the relation between the rank of a density matrix and the existence of bound entanglement. We show a relation between the rank, marginal ranks, and distillability of a mixed state and use this to prove that any rank n bound entangled state must have support on no more than an n øtimes n Hilbert space. A direct consequence of this result is that there are no bound entangled states of rank two. We explore the idea of how many pure states are needed in a mixture to cancel the distillable entanglement of a Schmidt rank n pure state and provide a lower bound of n-1. We also prove that a mixture of a non-zero amount of any pure entangled state with a pure product state is distillable.

研究动机与目标

• 研究密度矩阵的秩与束缚纠缠存在性之间的关系。
• 确定是否存在秩为二的束缚纠缠态。
• 建立秩-n束缚纠缠态支持空间的结构约束。
• 探讨为抵消一个施密特秩为n的纯态的可提纯纠缠，所需最少纯态数量。
• 分析包含一个纯纠缠态与一个纯乘积态的混合态的可提纯性。

提出的方法

• 推导混合量子态的秩、其约化密度矩阵（边缘秩）的秩与可提纯性之间的关系。
• 利用该秩-边缘秩-可提纯性关系，约束秩-n束缚纠缠态所需的希尔伯特空间维度。
• 应用该约束，证明任意秩-n束缚纠缠态必须被支持在n×n的希尔伯特空间上。
• 运用纠缠理论工具，包括可提纯性概念与纯态的施密特分解。
• 分析为抵消一个施密特秩为n的纯态的可提纯纠缠，所需最少纯态数量，推导出下限为n−1。
• 证明将任意非零量的纯纠缠态与纯乘积态混合，将产生一个可提纯态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在任何量子系统中，是否存在秩为二的束缚纠缠态？
• RQ2 秩-n束缚纠缠态所需的希尔伯特空间维度最大为多少？
• RQ3 在混合态中，需要多少纯态才能中和一个施密特秩为n的纯态的可提纯纠缠？
• RQ4 一个纯纠缠态与一个纯乘积态的混合态是否总是可提纯的？
• RQ5 为抵消一个给定纯纠缠态的可提纯性，所需最少纯态数量是多少？

主要发现

• 通过可提纯性相关的秩与边缘秩约束，已证明不存在秩为二的束缚纠缠态。
• 任何秩-n束缚纠缠态必须被支持在至多n×n维的希尔伯特空间上。
• 为抵消一个施密特秩为n的纯态的可提纯纠缠，所需最少纯态数量至少为n−1。
• 将任意非零量的纯纠缠态与纯乘积态混合，其结果总是可提纯的。
• 连接秩、边缘秩与可提纯性的结构约束，为排除低秩态中的束缚纠缠提供了强有力的工具。