[论文解读] Rate distortion theory, metric mean dimension and measure theoretic entropy

Aníbal Velozo, Renato Velozo|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 23

一句话总结

本文通过使用类似于测度熵的函数 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $，为度量均维数建立了一个变分原理，提供了比率失真函数更直观的替代方案。关键结果表明 $ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\sup_{\mu\in\mathcal{M}_T(\mathcal{X})}h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $，该结果恢复了标准变分原理，并以更清晰的计算方式重新证明了 [LT] 中的结果。

ABSTRACT

We prove a variational principle for the metric mean dimension analog to the one in [LT]. Instead of using the rate distortion function we use the function $h_μ(ε,T,δ)$ that is closely related to the entropy $h_μ(T)$ of $μ$. Our formulation has the advantage of being, in the authors opinion, more natural when doing computations. As a corollary we obtain a proof of the standard variational principle. We also obtain some relations between the rate distortion function with our function $ ilde{h}_μ(ε,T,δ)$, a modification of $h_μ(ε,T,δ)$ when replacing the dynamical metrics with the average dynamical metrics. Using our methods we also reprove the main result in [LT]. We will explain how to construct homeomorphisms on closed manifolds with maximal metric mean dimension. We end this paper with some questions that naturally arise from this work.

研究动机与目标

• 开发度量均维数变分原理的更易计算的直观表述形式。
• 用基于Katok熵公式的函数 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 取代率失真函数。
• 在新框架下重新证明 [LT] 的主要结果。
• 建立在紧流形上微分同胚实现最大度量均维数的条件。
• 探讨 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $、率失真函数 $ R_{\mu}(\epsilon) $ 及其平均动力球变体之间的关系。

提出的方法

• 定义 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) = \limsup_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log N_{\mu}(n,\epsilon,\delta) $，其中 $ N_{\mu}(n,\epsilon,\delta) $ 表示覆盖测度大于 $ 1-\delta $ 的集合所需的最小 $ (n,\epsilon) $-动力球数量。
• 利用渐近等价性 $ h_{\mu}(T) = \lim_{\epsilon\to 0} h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $（对遍历测度 $ \mu $ 成立），将 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 与测度熵联系起来。
• 证明变分原理 $ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\sup_{\mu}h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $，该式推广了标准变分原理。
• 引入 $ \widetilde{h}_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $，即使用平均动力球的变体，以关联到率失真函数 $ R_{\mu}(\epsilon) $。
• 在紧流形上使用扰动技术，构造出具有任意大上界度量均维数的微分同胚。
• 应用闭包引理和局部扰动，证明具有全度量均维数的微分同胚集合在具有固定点的微分同胚空间中是稠密的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 而非率失真函数来表述度量均维数的变分原理？
• RQ2 $ h_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 与率失真函数 $ R_{\mu}(\epsilon) $ 及其平均动力球变体 $ \widetilde{h}_{\mu}(\epsilon,T,\delta) $ 之间有何关系？
• RQ3 在何种条件下，紧流形上的微分同胚可实现最大度量均维数？
• RQ4 当使用 $ \overline{mdim}_{\mu}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $ 作为测度熵部分时，变分原理是否仍然成立？
• RQ5 是否存在某个测度 $ \mu $，使得度量均维数达到最大，即 $ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \overline{mdim}_{\mu}(\mathcal{X},d,T) $？

主要发现

• 建立了度量均维数的变分原理：$ \overline{mdim}(\mathcal{X},d,T) = \lim_{\delta\to 0}\limsup_{\epsilon\to 0}\frac{\sup_{\mu\in\mathcal{M}_T(\mathcal{X})}h_{\mu}(\epsilon,T,\delta)}{|\log\epsilon|} $，提供了一个更直观的计算框架。
• 作为主要结果的推论，标准拓扑熵变分原理得以恢复。
• 计算得出在 $ ([0,1]^n)^{\mathbb{Z}} $ 上以乘积度量 $ d_T $ 诱导的移位系统的度量均维数恰好为 $ n $。
• 证明了对遍历测度 $ \mu $，有 $ h_{\mu}(T) = \lim_{\epsilon\to 0} R_{\mu}(\epsilon) = \widetilde{h}_{\mu}(T,\delta) $，将新函数与率失真函数联系起来。
• 在紧流形上，具有全度量均维数 $ \dim(\mathcal{X}) $ 的微分同胚集合，在具有固定点的微分同胚空间中是稠密的。
• 度量均维数依赖于度量的选择，这一点通过在 $ Y^{\mathbb{Z}} $ 上不同相容度量下得到不同取值得以证明。