[论文解读] Rate-Induced Tipping in Heterogeneous Reaction-Diffusion Systems: An Invariant Manifold Framework and Geographically Shifting Ecosystems

Cris R. Hasan, Ruaidhrí Mac Cárthaigh+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2022

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 64被引用 6

一句话总结

本文通过使用紧化移动坐标系的常微分方程与林方法，构建了一个不变流形框架，用于分析非自治、异质反应-扩散系统中的速率诱导突变（R-突变）与分岔诱导突变（B-突变）。研究识别出在具有阿尔利效应的地理移动生态系统中，导致灭绝的关键栖息地大小与移动速度阈值，将生存条件与均质栖息地中的入侵速度相联系。

ABSTRACT

We propose a framework to study tipping points in reaction-diffusion equations (RDEs) in one spatial dimension, where the reaction term decays in space (asymptotically homogeneous) and varies linearly with time (nonautonomous) due to an external input. A compactification of the moving-frame coordinate together with Lin's method to construct heteroclinic orbits along intersections of stable and unstable invariant manifolds allows us to (i) obtain multiple coexisting pulse and front solutions for the RDE by computing heteroclinic orbits connecting equilibria at negative and positive infinity in the compactified moving-frame ordinary differential equation, (ii) detect tipping points as dangerous bifurcations of such heteroclinic orbits, and (iii) obtain tipping diagrams by numerical continuation of such bifurcations. We apply our framework to an illustrative model of a habitat patch that features an Allee effect in population growth and is geographically shrinking or shifting due to human activity or climate change. Thus, we identify two classes of tipping points to extinction: bifurcation-induced tipping (B-tipping) when the shrinking habitat falls below some critical length and rate-induced tipping (R-tipping) when the shifting habitat exceeds some critical speed. We explore two-parameter R-tipping diagrams to understand how the critical speed depends on the size of the habitat patch and the dispersal rate of the population, uncover parameter regions where the shifting population survives, and relate these regions to the invasion speed in an infinite homogeneous habitat. Furthermore, we contrast the tipping instabilities with gradual transitions to extinction found for logistic population growth without the Allee effect.

研究动机与目标

• 开发一种数学框架，用于检测具有异质、衰减反应项的非自治、空间扩展系统中的突变点。
• 区分由于栖息地缩小引起的分岔诱导突变（B-突变）与由于栖息地移动速度引起的速率诱导突变（R-突变）。
• 将该框架应用于具有阿尔利效应的人为或气候驱动栖息地移动下的种群模型。
• 通过将临界突变阈值与均质栖息地中的入侵速度相联系，确定种群生存条件。
• 构建双参数R-突变图，揭示基于栖息地大小与扩散率的种群持续区域。

提出的方法

• 通过坐标变换将非自治反应-扩散方程（RDE）转换为移动坐标系下的常微分方程，得到一个双渐近自治系统。
• 对移动坐标系下的常微分方程实施紧化，将其转化为紧化相空间上的自治系统，从而实现对异宿轨道的分析。
• 使用林方法数值构造紧化系统中±∞处鞍点平衡态之间的异宿轨道，代表脉冲与前导波解。
• 将突变点检测为这些异宿轨道的分岔，识别系统行为中的临界转变。
• 通过分岔的数值延拓生成双参数R-突变图，展示以栖息地大小与扩散率为参数的生存区域。
• 将结果与均质栖息地中的入侵速度理论进行比较，以确定可持续种群移动的上限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有阿尔利效应的地理移动或缩小的栖息地中，种群灭绝的关键阈值是什么？
• RQ2 B-突变（由栖息地大小减少引起）与R-突变（由栖息地移动速度引起）在机制与临界值上如何不同？
• RQ3 R-突变的临界速度与均质栖息地中入侵速度之间存在何种关系？
• RQ4 扩散率与栖息地大小如何共同决定移动生态系统中种群的生存或灭绝？
• RQ5 在哪些参数区域内，种群即使在栖息地移动下仍能持续存在？这些区域与异宿轨道稳定性有何关联？

主要发现

• 当栖息地长度低于某一临界阈值时发生B-突变，导致灭绝，且与移动速度无关，这是由于稳定平衡态的丧失。
• 当栖息地移动速度超过某一临界值时发生R-突变，即使冻结系统中种群仍稳定，种群也无法追踪移动的基态。
• R-突变的临界速度由均质栖息地中的入侵速度 $ c_{ ext{inv}} = 2\beta\beta D $ 上限限定，仅当移动速度低于此阈值时种群才能持续。
• 双参数R-突变图揭示了栖息地大小与扩散率参数空间中的显著持续区域，且仅当移动速度低于入侵速度时才可能发生持续。
• 对于阿尔利模型，连接灭绝与承载力平衡态的异宿轨道仅在临界入侵速度 $ c = c_{ ext{inv}} $ 时存在，标志着可持续脉冲传播的上限。
• 与无阿尔利效应的逻辑斯蒂增长不同，阿尔利模型由于存在鞍结分岔及种群持续的阈值，表现出突变式突变，导致制度转变而非渐进衰退。