[论文解读] Rate of convergence in first-passage percolation under low moments

Michael Damron, Naoki Kubota|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文在边权矩条件较低的前提下，为 $d$-维格子上的首达通过渗流（first-passage percolation）建立了改进的收敛速率界。通过结合高斯集中不等式与Alexander的次可加逼近方法，证明了 $\mathbb{E}T(0,x) - \mu(x) \leq C(\|x\|_1 \log \|x\|_1)^{1/2}$，并表明极限形状的收敛速率可达 $O(t^{-1/2}("log t)^{1/2})$，从而推广了以往需依赖指数矩的结论。

ABSTRACT

We consider first-passage percolation on the $d$ dimensional cubic lattice for $d \geq 2$; that is, we assign independently to each edge $e$ a nonnegative random weight $t_e$ with a common distribution and consider the induced random graph distance (the passage time), $T(x,y)$. It is known that for each $x \in \mathbb{Z}^d$, $μ(x) = \lim_n T(0,nx)/n$ exists and that $0 \leq \mathbb{E}T(0,x) - μ(x) \leq C\|x\|_1^{1/2}\log \|x\|_1$ under the condition $\mathbb{E}e^{αt_e}0$. By combining tools from concentration of measure with Alexander's methods, we show how such bounds can be extended to $t_e$'s with distributions that have only low moments. For such edge-weights, we obtain an improved bound $C (\|x\|_1 \log \|x\|_1)^{1/2}$ and bounds on the rate of convergence to the limit shape.

研究动机与目标

• 确定边权的最小矩条件，以保证首达通过渗流中子线性偏差 $\mathbb{E}T(0,x) - \mu(x) = o(\|x\|_1)$ 成立。
• 在经典指数矩假设之外，扩展极限形状收敛速率的结果。
• 在较弱矩条件下，通过将Alexander 1997年结果中的 $\log t$ 替换为 $\sqrt{\log t}$，改进其收敛速率界。
• 在低矩假设下，建立有限时间球 $B(t)/t$ 收敛到极限形状 $B_0$ 的内外边界。

提出的方法

• 在条件 (A1) 和 (A2) 下，推导通过时间 $\tau(0,x)$ 的高斯集中不等式，替代以往工作中使用的指数集中不等式。
• 应用Alexander对次可加函数进行逼近的方法，利用集中不等式来控制 $\mathbb{E}\tau(0,x) - \mu(x)$ 的差值。
• 利用集中不等式控制通过时间的尾部概率以及形状定理中测地线的波动。
• 通过分析 $v$ 位于球边界时 $\tau(0,v) > t$ 的概率，建立 $B(t)/t$ 收敛到 $B_0$ 的外边界。
• 利用次可加性及对 $2d$ 个独立同分布边权 $Z$ 的最小值的矩界，控制短路径上 $\tau(0,w)$ 的尾部行为。
• 在两个矩条件下利用Talagrand的下尾集中不等式，强化几乎必然收敛证明中的尾部估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当边权仅有有限二阶矩时，$\mathbb{E}\tau(0,x)$ 到时间常数 $\mu(x)$ 的最优收敛速率是什么？
• RQ2 当不假设指数矩时，首达通过渗流中极限形状的收敛速率是否可以改进？
• RQ3 $B(t)/t$ 收敛到 $B_0$ 的速率如何依赖于边权分布的矩结构？
• RQ4 在较弱矩假设下，能否将Alexander收敛速率中的 $\log t$ 因子替换为 $\sqrt{\log t}$？
• RQ5 边权分布的何种矩条件足以保证 $\mathbb{E}\tau(0,x) - \mu(x) = O((\|x\|_1 \log \|x\|_1)^{1/2})$？

主要发现

• 在假设 (A1) 和 (A2) 下，期望通过时间满足 $\mathbb{E}\tau(0,x) \leq \mu(x) + C_1(\|x\|_1 \log \|x\|_1)^{1/2}$，优于Alexander基于 $\log t$ 的界。
• 以概率1，有限时间球满足对所有充分大的 $t$ 有 $B(t)/t \subset \{1 + C_2 t^{-1/2}(\log t)^{1/2}\} B_0$，表明外收敛速率得到改进。
• 在更强条件 $\mathbb{E}t_e^{\alpha} < \infty$ 对于 $\alpha > 1 + 1/d$ 下，对所有充分大的 $t$，有内界 $\{1 - C_3 t^{-1/2}(\log t)^4\} B_0 \subset B(t)/t$ 成立，表明集中性极强。
• 证明依赖于针对 $\tau(0,x)$ 的新型高斯集中不等式，其在低矩条件下比指数集中更精确。
• 作者表明，$\mathbb{E}Z^{2d+2+\delta} < \infty$ 对某个 $\delta > 0$ 成立，其中 $Z$ 是 $2d$ 个独立同分布边权的最小值，是收敛结果成立的充分条件。
• 即使在无指数矩条件下，外边界中的收敛速率也从 $O(t^{-1/2}\log t)$ 提升至 $O(t^{-1/2}(\log t)^{1/2})$。