[论文解读] Rates in almost sure invariance principle for Young towers with exponential tails

Alexey Korepanov|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 6

一句话总结

该论文在具有指数尾部的非一致双曲系统中，通过将此类系统新颖地分解为具有利普希茨连续、保测度映射的马尔可夫移位，建立了对任意 $\varepsilon > 0$ 的 $o(n^{\varepsilon})$ 几乎必然不变性原理速率。该结果显著优于先前的最佳速率，并适用于如Axiom A微分同胚、扩散散射波和某些洛蒂斯蒂克及Hénon映射等系统。

ABSTRACT

We prove the almost sure invariance principle with rate $o(n^{\varepsilon})$ for every $\varepsilon > 0$ for Holder continuous observables on nonuniformly expanding and nonuniformly hyperbolic transformations with exponential tails. Examples include Gibbs-Markov maps with big images, Axiom A diffeomorphisms, dispersing billiards and a class of logistic and Henon maps. The best previously proved rate is $O(n^{1/4} (\log n)^{1/2} (\log \log n)^{1/4})$. As a part of our method, we show that nonuniformly expanding transformations are factors of Markov shifts with simple structure and natural metric (similar to the classical Young towers). The factor map is Lipschitz continuous and probability measure preserving. For this we do not require the exponential tails.

研究动机与目标

• 在具有指数尾部的非一致双曲系统中，建立几乎必然不变性原理的更快收敛速率。
• 证明非一致扩张系统可表示为具有简单结构和自然度量的马尔可夫移位的因子。
• 在不需假设指数尾部的前提下，为这类系统构造一个利普希茨连续、保概率测度的因子映射。
• 将不变性原理的适用范围扩展到包括吉布斯-马尔可夫映射、Axiom A微分同胚和扩散散射波在内的广泛动力系统类。

提出的方法

• 从非一致扩张系统构造到具有自然度量和简单结构的马尔可夫移位的因子映射。
• 证明该因子映射是利普希茨连续且保持概率测度，从而实现概率性质的可靠传递。
• 利用马尔可夫移位结构，通过耦合技术推导出具有改进速率的几乎必然不变性原理。
• 通过利用马尔可夫结构和指数尾部衰减，为赫尔德连续观测函数建立 $o(n^{\varepsilon})$ 速率。
• 将该框架应用于具有指数尾部的Axiom A微分同胚、扩散散射波以及洛蒂斯蒂克/Hénon映射等系统。
• 证明因子映射的构造不依赖于指数尾部，但速率的改进依赖于它们。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将具有指数尾部的系统的几乎必然不变性原理速率提升至优于先前 $O(n^{1/4} (\log n)^{1/2} (\log \log n)^{1/4})$ 的界限？
• RQ2 是否可能将非一致扩张系统表示为具有利普希茨连续、保测度映射的马尔可夫移位的因子？
• RQ3 马尔可夫移位的何种结构特性使得能够推导出更快的不变性原理速率？
• RQ4 在不假设指数尾部的情况下，因子映射构造的行为如何？它们在速率改进中起到什么作用？
• RQ5 该结果在多大程度上可推广至Axiom A微分同胚和扩散散射波等特定动力系统类？

主要发现

• 该论文实现了对任意 $\varepsilon > 0$ 的 $o(n^{\varepsilon})$ 几乎必然不变性原理速率，显著优于先前的最佳速率 $O(n^{1/4} (\log n)^{1/2} (\log \log n)^{1/4})$。
• 证明了具有指数尾部的非一致扩张系统是具有自然度量和简单结构的马尔可夫移位的因子。
• 因子映射被显式构造为利普希茨连续且保持概率测度，从而实现了概率估计的稳健传递。
• 该方法适用于广泛的动力系统类，包括具有大像集的吉布斯-马尔可夫映射、Axiom A微分同胚、扩散散射波，以及某些洛蒂斯蒂克和Hénon映射。
• 改进的速率依赖于指数尾部衰减，这确保了充分的混合性和矩界，以支持不变性原理。
• 因子映射的构造不需依赖指数尾部，但速率的改进则依赖于它们，凸显了结构表示与概率收敛之间的分离。