[论文解读] Rates of convergence for a class of generalized quasi contractive mappings in Kohlenbach hyperbolic spaces

Zahid Akhtar, Muhammad Aqeel Ahmad Khan|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2018

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文在Kohlenbach双曲空间中，利用Picard、Mann、Ishikawa和Xu-Noor迭代算法，建立了广义拟压缩映射的收敛速率。证明了在特定参数条件下，Picard迭代比改进的Mann型算法收敛更快，将收敛性分析从线性空间推广至非正曲率度量空间。

ABSTRACT

This paper is a continuation to the study of generalized quasi contractive operators, essentially due to Akhtar et al. [A multi-step implicit iterative process for common fixed points of generalized C^{q}-operators in convex metric spaces, Sci. Int., 25(4) (2013), 887-891], in spaces of nonpositive sectional curvature. We aim to establish results concerning convergence characteristics of the classical iterative algorithms such as Picard, Mann, Ishikawa and Xu-Noor iterative algorithms associated with the proposed class of generalized quasi contractive operators. Moreover, we adopt the concept introduced by Berinde [Comparing Krasnosel'skii and Mann iterative methods for Lipschitzian generalized pseudo-contractions, Int. Conference on Fixed Point Theory Appl., 15-26, Yokohama Publ., Yokohama, 2004.] for a comparison of the corresponding rates of convergence of these iterative algorithms in such setting of spaces. The results presented in this paper improve and extend some recent corresponding results in the literature.

研究动机与目标

• 分析经典迭代算法——Picard、Mann、Ishikawa和Xu-Noor——在Kohlenbach双曲空间中一类广义拟压缩映射的收敛特性。
• 利用Berinde的比较框架，比较这些迭代算法之间的收敛速率。
• 将现有收敛结果从线性空间推广至更一般的非正曲率双曲空间设置。
• 建立控制参数的充分条件，以确保广义拟压缩算子的不动点收敛。

提出的方法

• 本研究采用Kohlenbach双曲空间作为基础几何框架，该框架推广了具有适合非线性分析的凸结构的度量空间。
• 定义了一类广义拟压缩映射，其满足涉及五个距离项最大值的压缩条件，其中常数 λ ∈ [0,1)。
• 收敛性分析基于由凸映射 W 和压缩性质导出的递推不等式，通过有界迭代点到不动点的距离实现。
• 速率比较依赖于对乘积序列 aₙ = ∏[1 − αₖ(1−λ)²] 和 bₙ = ∏[1 − αₖ(1−3λ)(1 + 9λ²βₖγₖ + 3λβₖ)] 的估计，表明 aₙ/bₙ → 0。
• 对序列 {αₙ}, {βₙ}, {γₙ} 施加控制条件 (C1) 和 (C2)，以确保收敛并支持速率比较。
• 通过三角不等式和凸性性质推导理论界，得出 d(xₙ₊₁, p) 相对于 d(xₙ, p) 的递推估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Kohlenbach双曲空间中，广义拟压缩映射的Picard迭代算法是否比改进的Mann型算法收敛更快？
• RQ2 控制序列 {αₙ}, {βₙ}, {γₙ} 的充分条件是什么，以保证迭代方案收敛到不动点？
• RQ3 在此设置下，Mann、Ishikawa和Xu-Noor算法的收敛速率与经典Picard迭代相比如何？
• RQ4 能否在非正曲率空间中，利用Berinde的框架严格建立收敛速率比较？
• RQ5 现有线性空间中不动点收敛结果在多大程度上可推广至Kohlenbach双曲空间？

主要发现

• 在Kohlenbach双曲空间中，广义拟压缩映射的Picard迭代算法比改进的Mann型算法收敛更快。
• 当 λ ∈ [0, 1/3] 时，Picard方案的收敛速率衰减为 ∏[1 − αₖ(1−λ)²]，而Mann型方案保持恒定为1，表明收敛更快。
• 当 λ ∈ (1/3, 1) 时，比值 aₙ/bₙ → 0，证明Picard迭代仍比改进的Mann方案收敛更快。
• 在控制条件 (C1) 和 (C2) 下，所有迭代序列收敛到不动点，确保序列 {αₙ}, {βₙ}, {γₙ} 属于 [0,1] 并满足可求和约束。
• 结果将先前在线性空间中的发现推广至更广泛的非正曲率双曲空间类，增强了在非线性问题中的适用性。
• 分析证实，收敛速率关键取决于参数 λ 和控制序列的选择，较小的 λ 可获得更紧的界。