[论文解读] Rational approximation of $x^n$

Yuji Nakatsukasa, Lloyd N. Trefethen|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2018

Mathematical Approximation and Integration参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文证明了在区间 $[0,1]$ 上使用类型-$(k,k)$ 有理函数对 $x^n$ 进行有理逼近时，收敛速度为指数级，且极小极大误差渐近趋近于 $2H^{k+1/2}$，其中 $H \approx 1/9.28903$ 为 Halphen 常数——这一结果与 $n$ 完全无关，极为出人意料。该结论通过将区间 $[0,1]$ 经由 Möbius 变换映射至 $(-\infty,0]$ 而得出，从而将问题与在 $(-\infty,0]$ 上对 $e^x$ 进行有理逼近的经典问题联系起来，而后者已知具有相同的误差公式。

ABSTRACT

Let $E_{kk}^{(n)}$ denote the minimax (i.e., best supremum norm) error in approximation of $x^n$ on $[\kern .3pt 0,1]$ by rational functions of type $(k,k)$ with $k

研究动机与目标

• 分析使用类型-$(k,k)$ 有理函数对 $[0,1]$ 上的 $x^n$ 进行有理逼近时的极小极大误差。
• 证明当 $n$ 较大时，误差随 $k$ 指数衰减，且与 $n$ 无关。
• 通过 Möbius 变换将 $[0,1]$ 上 $x^n$ 的逼近问题与在 $(-\infty,0]$ 上逼近 $e^x$ 的经典问题联系起来。
• 证明渐近误差速率由 Halphen 常数 $H \approx 1/9.28903$ 决定，该常数已知于 $e^x$ 的逼近问题中。
• 将结果推广至偶数 $n$ 时的区间 $[-1,1]$，表明误差依赖于 $\lfloor k/2 \rfloor$ 的形式。

提出的方法

• 应用一个 Möbius 变换，将 $[0,1]$ 映射至 $(-\infty,0]$，将 $x^n$ 变换为 $(1 - s/n)^{-n}$。
• 利用类型-$(k,k)$ 有理逼近在 Möbius 变换下保持不变的性质，从而保持极小极大误差不变。
• 证明 $(1 - s/n)^{-n}$ 在 $(-\infty,0]$ 上一致收敛于 $e^s$，且误差有界于 $1/(en)$。
• 利用已知的渐近误差公式 $F_{kk} \sim 2H^{k+1/2}$，该公式适用于在 $(-\infty,0]$ 上对 $e^s$ 进行类型-$(k,k)$ 极小极大有理逼近，其中 $H$ 为 Halphen 常数。
• 取极限 $n \to \infty$，使 $(1 - s/n)^{-n}$ 的逼近误差与 $e^s$ 的逼近误差等价，从而将 $E_{kk}^{(n)}$ 与 $e^x$ 的逼近问题联系起来。
• 对于偶数 $n$，通过代换 $s = x^2$ 将结果推广至 $[-1,1]$，将问题转化为在 $[0,1]$ 上的类型-$(k/2,k/2)$ 逼近问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k \to \infty$ 且 $n$ 较大时，$[0,1]$ 上类型-$(k,k)$ 有理逼近 $x^n$ 的极小极大误差 $E_{kk}^{(n)}$ 的渐近行为如何？
• RQ2 为何在 $n \to \infty$ 且 $k \to \infty$ 的极限下，误差 $E_{kk}^{(n)}$ 与 $n$ 无关？
• RQ3 如何将 $[0,1]$ 上 $x^n$ 的有理逼近与在 $(-\infty,0]$ 上逼近 $e^x$ 的经典问题联系起来？
• RQ4 Halphen 常数 $H \approx 1/9.28903$ 在 $x^n$ 有理逼近的收敛速率中起什么作用？
• RQ5 当定义域变为 $[-1,1]$ 且 $n$ 为偶数时，收敛速率如何变化？

主要发现

• 在 $[0,1]$ 上对 $x^n$ 进行类型-$(k,k)$ 有理逼近时，极小极大误差 $E_{kk}^{(n)}$ 满足 $\lim_{k \to \infty} \lim_{n \to \infty} E_{kk}^{(n)} / (2H^{k+1/2}) = 1$，其中 $H \approx 1/9.28903$ 为 Halphen 常数。
• 收敛速度在 $k$ 上为指数级，且其渐近公式与在 $(-\infty,0]$ 上对 $e^x$ 进行有理逼近时完全相同，尽管被逼近函数不同。
• 在双极限 $k, n \to \infty$ 下，误差与 $n$ 无关，表明有理函数的逼近能力在大 $n$ 下依然稳健。
• 对于 $[-1,1]$ 上的偶数 $n$，误差满足 $\lim_{k \to \infty} \lim_{\substack{n \to \infty \\ n \text{ 为偶数}}} E_{kk}^{(n)} / (2H^{\lfloor k/2 \rfloor + 1/2}) = 1$，反映出有效阶数减半。
• 变换 $x = n/(n - s)$ 将 $[0,1]$ 映射至 $(-\infty,0]$，并将 $x^n$ 变换为 $(1 - s/n)^{-n}$，该函数一致收敛于 $e^s$，且误差 $\leq 1/(en)$。
• 数值证据表明，即使对于有限 $n$，也有 $E_{kk}^{(n)} \approx 2H^{k+1/2}$，且收敛速度远快于多项式逼近，后者需 $k \sim \sqrt{n}$ 才能达到高精度。