[论文解读] Rational Periodic Points of $x^d+c$ and $abc$ Conjecture

Chatchawan Panraksa|arXiv (Cornell University)|May 8, 2021

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 1

一句话总结

本文研究了多项式 $f_{d,c}(x) = x^d + c$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的有理周期点，重点关注 $d = 4, 6$ 以及 $d = 2k$（其中 $k > 3$ 且 $2k-1$ 被 3 整除）时的周期 2 点。在假设 $abc$ 猜想成立的前提下，证明了当 $d$ 足够大时，不存在精确周期大于 1 的有理周期点，从而在有理周期点的有限性方面建立了强有力的条件性结果。

ABSTRACT

We study rational periodic points of polynomial $f_{d,c}(x)=x^d+c$ over the field of rational numbers, where $d$ is an integer greater than 2 and $c eq -1$. For period 2, we classify all possible periodic points for degrees $d=4,6$, and $d=2k$ for positive integer $k>3$ such that $2k-1$ is divisible by 3. Moreover, assuming the $abc$ conjecture, we prove that $f_{d,c}$ has no rational periodic point of exact period greater than 1 for sufficiently large integer $d$.

研究动机与目标

• 对特定次数 $d$ 和 $c \neq -1$ 的 $f_{d,c}(x) = x^d + c$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的有理周期点进行分类。
• 分析 $d = 4, 6$ 以及 $d = 2k$（其中 $k > 3$ 且 $2k-1 \equiv 0 \pmod{3}$）时 $f_{d,c}$ 的周期 2 循环结构。
• 在 $abc$ 猜想的假设下，研究当 $d$ 较大时，$f_{d,c}$ 是否存在精确周期大于 1 的有理周期点。
• 在 $d$ 增大时，建立关于 $f_{d,c}$ 的有理周期点的条件性有限性结果。

提出的方法

• 通过求解方程 $f_{d,c}^{(2)}(x) = x$（其中 $f_{d,c}(x) = x^d + c$）对 $d = 4, 6$ 以及 $d = 2k$（$k > 3$ 且 $2k-1 \equiv 0 \pmod{3}$）时的有理周期点进行周期 2 的分类。
• 利用代数数论与丢番图分析研究周期点方程的有理解。
• 应用 $abc$ 猜想以界定定义周期点的方程的解的大小。
• 利用 $abc$ 猜想证明：当 $d$ 足够大时，精确周期大于 1 的有理解不存在。
• 分析次数 $d$ 的增长及其对算术约束下有理预周期点存在的影响。
• 利用多项式 $x^d + c$ 的结构，将问题转化为界定某些丢番图方程的整数解。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $d = 4, 6$ 以及满足 $k > 3$ 且 $2k-1$ 被 3 整除的 $d = 2k$，当 $c \neq -1$ 时，$f_{d,c}(x) = x^d + c$ 存在有理周期为 2 的周期点？
• RQ2 能否利用 $abc$ 猜想排除当 $d$ 足够大时 $f_{d,c}$ 存在精确周期大于 1 的有理周期点？
• RQ3 当 $d > 2$ 且 $c \neq -1$ 时，$f_{d,c}$ 的有理周期点具有何种结构？
• RQ4 在算术约束下，次数 $d$ 如何影响有理预周期点的存在性？
• RQ5 $abc$ 猜想对 $x^d + c$ 家族中理性周期点的有限性有何影响？

主要发现

• 对于 $d = 4$，$f_{d,c}(x) = x^4 + c$ 的所有有理周期为 2 的周期点均被完全分类。
• 对于 $d = 6$，本文对 $f_{d,c}(x) = x^6 + c$（$c \neq -1$）的有理周期为 2 的周期点提供了完整分类。
• 对于 $d = 2k$（其中 $k > 3$ 且 $2k-1$ 被 3 整除），本文对 $f_{d,c}(x) = x^d + c$ 的所有有理周期为 2 的周期点进行了分类。
• 在假设 $abc$ 猜想成立的前提下，本文证明了当 $d$ 足够大时，多项式 $f_{d,c}(x) = x^d + c$ 不存在精确周期大于 1 的有理周期点。
• 对 $d = 4, 6$ 以及满足特定条件的 $d = 2k$ 的分类结果，完整描述了这些情况下的有理周期 2 轨道。
• 在 $abc$ 猜想的假设下，该条件性结果对 $d$ 增大时 $x^d + c$ 家族中理性周期点的存在性施加了强有力的限制。