[论文解读] RBF-based meshless boundary knot method and boundary particle method

Wen Chen|ArXiv.org|Jul 10, 2002

Numerical methods in engineering参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文介紹了兩種無網格邊界型方法——邊界核方法（BKM）與邊界粒子方法（BPM）——利用徑向基函數（RBFs）求解偏微分方程（PDEs）。與傳統方法不同，這兩種方法透過採用非奇異通解，避免了奇異基本解與人工邊界的使用，從而實現無網格、對稱、無積分且超收敛的解法，適用於具有複雜幾何形狀的二維與三維亥姆霍兹方程與對流-擴散問題。

ABSTRACT

This paper is concerned with the two new boundary-type radial basis function collocation schemes, boundary knot method (BKM) and boundary particle method (BPM). The BKM is developed based on the dual reciprocity theorem, while the BPM employs the multiple reciprocity technique. Unlike the method of fundamental solution, the wto methods use the nonsingular general solutions instead of singular fundamental solution to circumvent the controversial artificial boundary outside physical domain. Compared with the boundary element method, both the BKM and BPM are meshfree, superconvergent, meshfree, integration free, symmetric, and mathematically simple collocation techniques for general PDEs. In particular, the BPM does not require any inner nodes for inhomogeneous problems. In this study, the accuracy and efficiency of the two methods are numerically demonstrated to some 2D, 3D Helmholtz and convection-diffusion problems under complicated geometries.

研究动机与目标

• 開發無網格邊界型方法，以克服基本解法的限制，特別是對人工邊界的依賴。
• 透過在邊界配點格式中使用非奇異通解，消除對奇異基本解的使用。
• 為求解一般PDEs（特別是非齊次問題）提供一種對稱、無積分且數學上簡潔的方法。
• 在具有複雜幾何形狀的二維與三維亥姆霍兹方程與對流-擴散問題上，展示所提出方法的準確性與效率。
• 證明BPM在非齊次問題中無需內點，相較於傳統方法更簡化實現過程。

提出的方法

• 邊界核方法（BKM）基於雙重重合法則，利用非奇異通解來近似非齊次PDEs的特解。
• 邊界粒子方法（BPM）採用多重重合法，將非齊次項轉化為僅含邊界的等效形式。
• 兩種方法均使用徑向基函數（RBFs）在邊界節點上進行配點，避免域離散化與網格生成。
• 方法設計為對稱且超收斂，充分利用RBFs與僅含邊界的配點之特性。
• 使用非奇異通解避免了基本解法中對人工邊界放置的爭議性需求。
• 該方案應用於具有複雜幾何形狀的二維與三維亥姆霍兹方程與對流-擴散方程，僅使用邊界節點進行解的近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否開發一種無網格邊界型方法，以避免使用奇異基本解與人工邊界？
• RQ2 BKM與BPM在準確性與計算效率方面與傳統邊界元方法相比表現如何？
• RQ3 BPM是否能消除非齊次PDEs中對內點的需求，同時保持高準確性？
• RQ4 BKM與BPM在複雜幾何形狀下維持對稱性與超收斂性的程度如何？
• RQ5 這些方法在求解具有不規則區域的二維與三維亥姆霍兹方程與對流-擴散問題時，其魯棒性如何？

主要发现

• BKM與BPM在求解具有複雜幾何形狀的二維與三維亥姆霍兹方程與對流-擴散問題時表現出高準確性。
• 兩種方法均為無網格、對稱、無積分且超收斂，相較於傳統邊界元方法具有計算優勢。
• BPM成功解決非齊次問題，無需任何內點，簡化了實現過程。
• 使用非奇異通解避免了對人工邊界的需要，從而解決了基本解法的一個關鍵限制。
• 數值結果顯示兩種方法在各種不規則區域測試案例中均表現出強大的魯棒性與效率。
• 兩種方法展現出強勁的收斂行為，結果顯示即使在具有挑戰性的邊值問題中亦具備高精度。