[论文解读] Reachable states and holomorphic function spaces for the 1-D heat equation

Marcu-Antone Orsoni|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 28被引用 9

一句话总结

该论文证明了在区间 $[0,\pi]$ 上，一维热方程在边界控制下的可达状态恰好是两个在扇形区域上的Bergman空间之和，其交集为以 $[0,\pi]$ 为对角线的正方形区域 $D$。此外，该文进一步证明，该和空间严格包含Smirnov-Zygmund空间 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$ 和 $D$ 上的某个加权Bergman空间，从而细化了已知的Smirnov空间与Bergman空间之间的包含关系。

ABSTRACT

The description of the reachable states of the heat equation is one of the central questions in control theory. The aim of this work is to present new results for the 1-D heat equation with boundary control on the segment $[0, \\pi]$. In this situation it is known that the reachable states are holomorphic in a square $D$ the diagonal of which is given by $[0,\\pi]$. The most precise results obtained recently say that the reachable space is contained between two well known spaces of analytic function: the Smirnov space $E^2(D)$ and the Bergman space $A^2(D)$. We show that the reachable states are exactly the sum of two Bergman spaces on sectors the intersection of which is $D$. In order to get a more precise information on this sum of Bergman spaces, we also prove that it includes the Smirnov-Zygmund space $E_{L\\log^+\\!L}(D)$ as well as a certain weighted Bergman space on $D$.

研究动机与目标

• 精确刻画在 $[0,\pi]$ 上一维热方程在边界控制下的可达状态。
• 通过确定可达集的确切函数空间结构，改进已知的包含关系 $E^2(D) \subset \mathcal{R}_\tau \subset A^2(D)$。
• 证明可达空间恰好是两个在交于 $D$ 的扇形区域上的Bergman空间之和，从而提供比以往结果更精细的描述。

提出的方法

• 使用复分析技术，特别是全纯函数空间理论，分析可达状态。
• 应用多复变函数中的第一Cousin问题，构造所需的函数分解。
• 利用共形映射和热核的结构，将可达状态与正方形区域 $D$ 上的全纯函数联系起来。
• 采用加权Bergman空间和Smirnov-Zygmund空间 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$，以细化函数空间的表征。
• 利用零可控性性质，证明可达空间与初值和时间无关，从而简化分析为 $\mathcal{R}_\tau = \text{Ran}\, \Phi_\tau$。
• 通过将可达空间中的函数分解为两个扇形区域上Bergman空间的分量，利用单位分解并求解相关的 $\overline{\partial}$-问题，完成证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维热方程在 $[0,\pi]$ 上具有边界控制时，其可达状态的确切函数空间结构是什么？
• RQ2 可达空间能否表征为扇形区域上Bergman空间之和？若是，这如何改进已知的 $E^2(D)$ 与 $A^2(D)$ 之间的包含关系？
• RQ3 可达空间是否包含Smirnov-Zygmund空间 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$ 和 $D$ 上的某个加权Bergman空间？
• RQ4 可达空间分解为两个Bergman空间是否最优？能否通过第一Cousin问题进一步改进？

主要发现

• 在一维热方程在 $[0,\pi]$ 上具有边界控制时，其可达状态恰好是两个在扇形区域上的Bergman空间之和，其交集为以 $[0,\pi]$ 为对角线的正方形区域 $D$。
• 该和空间严格包含Smirnov-Zygmund空间 $E_{L\log^{+}\!L}(D)$，这是对已知包含关系 $E^2(D) \subset \mathcal{R}_\tau \subset A^2(D)$ 的改进。
• 可达空间还包含 $D$ 上的某个加权Bergman空间，进一步细化了函数空间的描述。
• 该结果在最优性意义上成立：$\overline{\partial}$-问题中对单位分解的导数条件无法进一步改进，这一点由平均值定理所证实。
• 由于零可控性，可达空间与初值和时间 $\tau > 0$ 无关。
• 该表征通过在具有特定几何结构的区域上求解全纯函数的First Cousin问题而实现。