[论文解读] Real-space renormalization, error correction and conditional expectations

Keiichiro Furuya, Nima Lashkari+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2020

Quantum many-body systems被引用 3

一句话总结

本文表明，实空间重整化群（RG）变换通过条件期望作用为量子纠错码，其中粗粒化将误差映射至长距离可观测量，构成可纠正子代数。关键结果为：若某一态在RG变换下保持不变，则粗粒化是等距嵌入的Petz对偶，且该映射在GNS希尔伯特空间中成为条件期望，从而将RG与量子纠错及全息对偶联系起来。

ABSTRACT

We show that the real-space renormalization group (RG), as a map from the observable algebra to the subalgebra of long-distance observables, is an error correction code, best described by a conditional expectation. It is comprised of a coarse-graining step followed by an isometric embedding. The coarse-graining is the error map and the long-distance observables are the correctable operators. We show that if there is a state that is preserved under renormalization the coarse-graining step is the Petz dual of the isometric embedding (the Petz map). We demonstrate that a set of states are preserved under this map if and only if their pairwise relative entropies do not change when we restrict to the long-distance observables. We study the operator algebra quantum error correction in the GNS Hilbert space which applies to any quantum system including the local algebra of quantum field theory. We show that the recovery map is an isometric embedding of the correctable subalgebra. Similar to the RG, the composition of the error map followed by the recovery map forms a conditional expectation (a projection in the GNS Hilbert space). In gauge/gravity dualities, the bulk relative entropy of holographic states is the same as their boundary relative entropies which implies that the holographic map is an error correction code, and hence a conditional expectation. It follows that the boundary to the bulk map is a Petz map.

研究动机与目标

• 建立实空间重整化群（RG）变换与量子纠错之间的正式联系。
• 证明由粗粒化与等距嵌入组成的RG映射在GNS希尔伯特空间中作为条件期望发挥作用。
• 识别出量子态在RG下保持不变的条件，并将其与相对熵保持不变性联系起来。
• 将算子代数量子纠错应用于局域量子场论及规范/引力对偶。
• 证明全息理论中边界到体的映射是Petz映射，表明其为一种纠错码。

提出的方法

• 将RG变换建模为粗粒化映射（错误映射）与等距嵌入（恢复映射）的复合。
• 将RG映射解释为GNS希尔伯特空间中的条件期望，将其投影至长距离可观测量子代数。
• 当某一态在RG下保持不变时，利用Petz映射（等距嵌入的逆）定义粗粒化步骤的对偶。
• 将算子代数量子纠错应用于量子系统的GNS表示，包括量子场论中的局域代数。
• 证明RG框架中的恢复映射是可纠正子代数的等距嵌入，从而保持算子结构。
• 证明规范/引力对偶中的体到边界映射是条件期望，表明其为一种纠错码。

实验结果

研究问题

• RQ1 实空间重整化群映射如何作为量子纠错码发挥作用？
• RQ2 在何种条件下，量子态在RG变换下保持不变，这对粗粒化映射的结构有何含义？
• RQ3 Petz映射在连接RG的粗粒化与等距嵌入步骤中起什么作用？
• RQ4 RG变换如何在GNS希尔伯特空间中产生条件期望结构？
• RQ5 当相对熵在限制到长距离可观测量时保持不变，这对全息对偶意味着什么？

主要发现

• RG变换在形式上等价于一种量子纠错码，其中粗粒化作为错误映射，而长距离可观测量作为可纠正算符。
• 当某一态在RG下保持不变时，粗粒化步骤是等距嵌入的Petz对偶，建立了错误与恢复之间的对偶性。
• 一组态在RG下保持不变，当且仅当其两两之间的相对熵在限制到长距离可观测量时保持不变。
• RG框架中的恢复映射是可纠正子代数的等距嵌入，确保了量子信息的幺正保持。
• 错误映射与恢复映射的复合在GNS希尔伯特空间中形成条件期望，作为对可纠正代数的投影。
• 在规范/引力对偶中，边界到体的映射是Petz映射，证实全息映射是一种纠错码，且体与边界之间的相对熵相等。