[论文解读] Real-Time Minimization of Average Error in the Presence of Uncertainty and Convexification of Feasible Sets

Andrey Bernstein, Niek J. Bouman+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2016

Advanced Control Systems Optimization参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种实时控制框架，通过在本地控制器层面使用误差扩散的变体，在存在不确定性和非凸可行集的情况下最小化平均误差。该框架建立了累积误差保持有界的条件，确保平均误差收敛至零，并提供了一种计算误差动态最小凸不变集的计算方法。

ABSTRACT

We consider a two-level discrete-time control framework with real-time constraints where a central controller issues setpoints to be implemented by local controllers. The local controllers implement the setpoints with some approximation and advertize a prediction of their constraints to the central controller. The local controllers might not be able to implement the setpoint exactly, due to prediction errors or because the central controller convexifies the problem for tractability. In this paper, we propose to compensate for these mismatches at the level of the local controller by using a variant of the error diffusion algorithm. We give conditions under which the minimal (convex) invariant set for the accumulated-error dynamics is bounded, and give a computational method to construct this set. This can be used to compute a bound on the accumulated error and hence establish convergence of the average error to zero. We illustrate the approach in the context of real-time control of electrical grids.

研究动机与目标

• 解决本地控制器由于不确定性或非凸可行集而无法精确实现设定值时的实时控制挑战。
• 确保请求设定值与实际实现设定值之间的平均误差随时间收敛至零。
• 提供一种计算上可行的方法，以约束具有凸化可行集的分层控制系统中的累积误差。
• 建立理论条件，使误差动态的最小凸不变集有界，从而保证误差累积过程的稳定性。
• 实现在电气功率系统等实时系统中的实际部署，其中积分控制性能至关重要。

提出的方法

• 将控制交互建模为具有中央控制器发布设定值、本地控制器实现近似值的两级离散时间系统。
• 在本地控制器层面使用误差扩散算法的变体以最小化总累积误差，其中误差定义为 $ e_{n+1} = e_n + x_n - y_n $。
• 引入算子 $ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ 以表示本地控制器可行集映射下误差动态图像的凸包。
• 将最小凸 $ F $-不变集 $ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $ 定义为迭代应用 $ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ 的极限，从而界定向累积误差。
• 利用 $ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ 的单调性和凸性性质，证明收敛性并构建误差集的紧致边界。
• 将该框架应用于实时电力系统控制，其中在不确定性和离散控制动作下管理有功和无功功率设定值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分层实时控制系统中，累积误差在什么条件下随时间保持有界？
• RQ2 误差扩散机制如何调整，以确保在非凸可行集和预测误差存在的情况下，平均误差仍能收敛至零？
• RQ3 可采用何种计算方法构建界定向累积误差动态的最小凸不变集？
• RQ4 中央控制器对可行集的凸化如何影响本地控制实现的稳定性和性能？
• RQ5 所提出的框架是否可应用于电气功率系统等现实世界系统，其中积分控制性能至关重要？

主要发现

• 证明了最小凸 $ F $-不变集 $ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $ 是包含所有可能累积误差且在误差动态下不变的最小凸集。
• 对 $ \mathfrak{P}_{\mathcal{S}} $ 的迭代应用产生一个单调的集合序列，该序列收敛至 $ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $，从而实现误差边界的高效计算。
• 在确保误差动态不发散的条件下，建立了 $ \mathfrak{P}^\infty_{\mathcal{S}}(D) $ 的有界性，从而保证平均误差收敛至零。
• 该框架确保即使本地控制器面临不确定性或非凸可行集（由于离散或波动行为），平均误差仍收敛至零。
• 该方法计算上可行，适用于电气功率系统等实时系统，其中必须在快速时间约束下管理有功和无功功率设定值。
• 理论结果在电力系统控制背景下得到验证，证明了在实时约束和实现不匹配的情况下实现零平均误差的可行性。