[论文解读] Realizable homotopy colimits

Beatriz Rodríguez González|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 25

一句话总结

本文通过引入相对范畴的2-category结构，提出可实现同伦上积的概念，证明了任意模型范畴中的Bousfield-Kan同伦上积即为上积的绝对左导出函子。关键结果表明，此类上积可通过几何实现与单纯替换的公式表征，且该框架确保了逐点同伦左Kan扩张的存在性。

ABSTRACT

In this paper we prove that for any model category, the Bousfield-Kan construction of the homotopy colimit is the absolute left derived functor of the colimit. This is achieved by showing that the Bousfield-Kan homotopy colimit is moreover a realizable homotopy colimit, defined by means of a suitable 2-category of relative categories. In addition, in the case of exact coproducts, we characterize the realizable homotopy colimits that satisfy a cofinality property as those given by a formula following the pattern of Bousfield-Kan construction: they are the composition of a "geometric realization" with the simplicial replacement.

研究动机与目标

• 通过统一框架证明同伦上积的不同定义——Bousfield-Kan、Quillen、Grothendieck导出器及Voevodsky——在特定条件下等价。
• 定义并研究‘可实现同伦上积’，即在通过弱等价局部化之前即被实现的同伦上积，利用相对范畴上的2-category结构。
• 通过涉及几何实现与单纯替换的公式，表征满足共终性性质的可实现同伦上积。
• 证明在模型范畴中，Bousfield-Kan构造是可实现同伦上积，因而即为上积的绝对左导出函子。
• 证明在模型范畴之间的函子若保持纤维对象间的弱等价，则其与所有同伦上积可交换，当且仅当其保持同伦余积与$\Delta$-同伦上积。

提出的方法

• 在相对范畴上引入2-category结构，将可实现同伦上积定义为在局部化前与弱等价可交换的函子。
• 将‘单纯函子’$β: \Delta^\circ \mathcal{C} \to \mathcal{C}$定义为单纯对象的几何实现，编码单纯下降的概念。
• 利用单纯替换函子$\amalg^I: \mathcal{C}^I \to \Delta^\circ \mathcal{C}$，将同伦上积表达为复合$\mathtt{hocolim}_I \simeq \mathbf{s} \circ \amalg^I$。
• 应用修正后的Bousfield-Kan公式$\mathtt{{}_{c}hocolim}^{BK}_{I}X = \int^i \widetilde{QX}(i) \otimes \mathrm{N}(i/I)^\circ$，证明该构造在纤维化图上为单纯函子。
• 利用模型范畴的预导出器与Grothendieck导出器之间的等价性，推导出预导出器既是弱左导出器也是弱右导出器。
• 通过弱等价的来回路径证明：若函子保持同伦余积与$\Delta^\circ$-同伦上积，则其保持所有同伦上积。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明Bousfield-Kan同伦上积在任意模型范畴中满足上积的绝对左导出函子的普遍性质？
• RQ2 在何种条件下，可实现同伦上积满足共终性性质，并可通过几何实现与单纯替换获得公式化描述？
• RQ3 在相对范畴中，单纯函子$\mathbf{s}: \Delta^\circ \mathcal{C} \to \mathcal{C}$的存在性如何与逐点同伦左Kan扩张的存在性相关？
• RQ4 在何种条件下，模型范畴之间的函子可保持所有同伦上积？
• RQ5 Voevodsky对$\Delta$-闭类的同伦上积是否为可实现同伦上积的特例？其在主要结果中起到何种作用？

主要发现

• 在任意模型范畴中，Bousfield-Kan同伦上积即为上积的绝对左导出函子，因其为可实现同伦上积。
• 满足共终性性质的可实现同伦上积可表征为单纯函子$\mathbf{s}$与单纯替换$\amalg^I$的复合。
• 在存在精确余积的情况下，可实现同伦上积的存在性意味着所有同伦左Kan扩张存在且可逐点计算。
• 与模型范畴相关的预导出器是Grothendieck导出器，因其同时为弱左导出器与弱右导出器。
• 若函子$F: \mathcal{M} \to \mathcal{N}$在模型范畴之间保持纤维对象间的弱等价，则其与所有同伦上积可交换，当且仅当其保持同伦余积与$\Delta^\circ$-同伦上积。
• 当满足推论6.7的条件时，典范相对自然变换$\mathtt{hocolim}_I^\mathcal{N} \circ F \dashrightarrow F \circ \mathtt{hocolim}_I^\mathcal{M}$在$\mathcal{R}el\mathcal{C}at$中为同构。