[论文解读] Reconfiguration of Colourings and Dominating Sets in Graphs: a Survey

Christina M. Mynhardt, Shahla Nasserasr|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 44被引用 6

一句话总结

本综述全面概述了图着色与支配集的重配置图，重点关注 k-着色、边着色以及各类支配重配置模型，如 k-支配图、γ-图（跳跃与滑动模型）和非冗余图。它建立了基础定义，回顾了连通性、直径和可实现性等结构性质，并强调了关键结果，包括任一图均可实现为滑动 γ-图，且树的 γ-图是连通且二分图的。

ABSTRACT

We survey results concerning reconfigurations of colourings and dominating sets in graphs. The vertices of the $k$-colouring graph $\mathcal{C}_{k}(G)$ of a graph $G$ correspond to the proper $k$-colourings of a graph $G$, with two $k$-colourings being adjacent whenever they differ in the colour of exactly one vertex. Similarly, the vertices of the $k$-edge-colouring graph $\mathcal{EC}_{k}(G)$ of $g$ are the proper $k$-edge-colourings of $G$, where two $k$-edge-colourings are adjacent if one can be obtained from the other by switching two colours along an edge-Kempe chain, i.e., a maximal two-coloured alternating path or cycle of edges. The vertices of the $k$-dominating graph $\mathcal{D}_{k}(G)$ are the (not necessarily minimal) dominating sets of $G$ of cardinality $k$ or less, two dominating sets being adjacent in $\mathcal{D}_{k}(G)$ if one can be obtained from the other by adding or deleting one vertex. On the other hand, when we restrict the dominating sets to be minimum dominating sets, for example, we obtain different types of domination reconfiguration graphs, depending on whether vertices are exchanged along edges or not. We consider these and related types of colouring and domination reconfiguration graphs. Conjectures, questions and open problems are stated within the relevant sections.

研究动机与目标

• 系统化并总结现有图着色与支配集重配置图的研究。
• 厘清关键重配置模型（包括 k-着色、边着色、k-支配和 γ-图）的定义与结构性质。
• 识别该领域中的开放问题与猜想，特别是关于可实现性、连通性及直径界的问题。
• 建立重配置图与组合格雷码之间的联系，并突出其在马尔可夫链近似计数中的意义。
• 为探索图重配置中算法、结构与可实现性问题的研究者提供统一参考。

提出的方法

• 将 k-着色图 𝒞ₖ(G) 定义为：其顶点是图 G 的合法 k-着色，当两个着色仅在一个顶点上不同时，即为相邻。
• 将 k-边着色图 𝒞𝓔ₖ(G) 定义为：通过沿边的 Kempe 链交换来定义，当一个边着色可通过沿一条最大交替双色路径或环交换两种颜色而得到时，两个边着色相邻。
• 引入 k-支配图 𝒟ₖ(G)，其顶点为大小至多为 k 的支配集，当一个支配集可通过向另一个添加或删除一个顶点而得到时，即为相邻。
• 在两种模型下定义 γ-图：跳跃 γ-图 𝒥(G,γ) 中，相邻性由单个顶点替换定义；滑动 γ-图 𝒮(G,γ) 中，相邻性要求被替换的顶点相邻。
• 使用约翰逊图 J(n,k) 作为通用框架，以刻画可实现的 γ-图，证明 H 可实现为 𝒥(G,γ) 当且仅当 H 是 J(n,k) 的诱导子图。
• 应用结构图论与组合构造方法证明可实现性结果，包括任一图均可实现为滑动 γ-图 𝒮(G,γ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些图 G，其滑动 γ-图 𝒮(G,γ) 可实现？
• RQ2 树的 γ-图连通性与直径界存在的充要条件是什么？
• RQ3 每个二分图是否都可实现为某个二分图的 γ-图？
• RQ4 所有图是否都可实现为非冗余图（IR-图）？哪些特定图不可实现？
• RQ5 图 G 的结构与 γ-图的结构性质（如直径、最大度）之间有何关系？

主要发现

• 每个图均可作为无穷多个图 G 的滑动 γ-图 𝒮(G,γ) 实现，如定理 4.5 所证。
• 任意树 T 的 γ-图 𝒮(T,γ) 是连通且二分图，且 γ-图 𝒥(T,γ) 也是连通的，由 Fricke 等人 [31] 建立。
• 对于阶为 n、支配数为 k 且有 s 个主干的任意树 T，𝒥(T,γ) 与 𝒮(T,γ) 的最大度至多为 n−k，其直径分别有界于 2k 与 2(k−s)，如定理 4.6 所示。
• 树 T 的滑动 γ-图 𝒮(T,γ) 的顶点数满足 |V(𝒮(T,γ))| ≤ ((1+√13)/2)^γ(T)，且对某些无限棵树族该界是紧的。
• 连通 cograph 图 G 的跳跃 γ-图 𝒥(G,γ) 的直径至多为 2，且当且仅当 G 有全域顶点时直径为 1。
• 路径 Pₙ 与 n≥5 的圈 Cₙ 不可实现为 IR-图，且阶为 4 的连通 IR-图仅有 K₄ 与 C₄，如定理 4.7 及相关结果所示。