[论文解读] Reconstruction mechanism with self-growing equations for hyper, improper and proper fractional chaotic systems through a novel non-Lyapunov approach

Fei Gao, Feng-Xia Fei+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2012

Chaos control and synchronization被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的非李雅普诺夫重构方法，用于超混沌、非真分式及真分式阶混沌系统，基于遗传操作的自生长分式微分方程机制。通过将分式微分方程视为独立变量，并最小化一个非负特殊函数目标，该方法在参数和阶数完全未知的情况下，仍能以高精度和强鲁棒性成功重构复杂混沌系统——通过洛伦兹、陈、罗斯勒等系统的仿真验证，实现了对精确模型的收敛。

ABSTRACT

Identification of the unknown parameters and orders of fractional chaotic systems is of vital significance in controlling and synchronization of fractional-order chaotic systems. However there exist basic hypotheses in traditional estimation methods, that is, the parameters and fractional orders are partially known or the known data series coincide with definite forms of fractional chaotic differential equations except some uncertain parameters and fractional orders. What should I do when these hypotheses do not exist? In this paper, a non-Lyapunov novel approach with a novel united mathematical model is proposed to reconstruct fractional chaotic systems, through the fractional-order differential equations self-growing mechanism by some genetic operations ideas independent of these hypotheses. And the cases of identifying the unknown parameters and fractional orders of fractional chaotic systems can be thought as special cases of the proposed united mathematical reconstruction method in non-Lyapunov way. The problems of fractional-order chaos reconstruction are converted into a multiple modal non-negative special functions' minimization through a proper translation, which takes fractional-order differential equations as its particular independent variables instead of the unknown parameters and fractional orders. And the objective is to find best form of fractional-order differential equations such that the objective function is minimized. Simulations are done to reconstruct a series of hyper and normal fractional chaotic systems. The experiments' results show that the proposed self-growing mechanism of fractional-order differential equations with genetic operations is a successful methods for fractional-order chaotic systems' reconstruction, with the advantages of high precision and robustness.

研究动机与目标

• 解决传统方法在混沌系统重构中需部分已知参数或分式阶数的局限性。
• 建立统一的数学框架，用于重构超混沌、非真分式及真分式阶混沌系统，且不依赖李雅普诺夫稳定性理论。
• 通过新型基于优化的方法，实现对混沌系统中未知参数与分式阶数的同时识别。
• 通过在遗传操作中嵌入自生长方程机制，克服现有元启发式方法的敏感性与收敛性问题。
• 在多种混沌系统（包括超混沌与非真分式阶系统）中，展示所提方法的鲁棒性与准确性。

提出的方法

• 提出一种新颖的统一数学模型，将分式阶微分方程视为独立变量，而非未知参数。
• 通过目标函数的合理变换，将重构问题转化为多模态、非负特殊函数最小化问题。
• 应用遗传操作（选择、交叉、变异）演化候选分式微分方程，实现方程结构的自生长。
• 目标函数定义为观测轨迹与模拟轨迹之间平方差之和，通过进化计算进行优化。
• 强制策略在仿真过程中将 NaN 和无穷大值赋为零，以防止无限循环，确保算法稳定性。
• 通过算法1实现该方法，该算法迭代演化候选系统，并利用分式阶常微分方程的数值积分评估其适应度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当参数与分式阶数完全未知时，能否在不依赖基于李雅普诺夫方法的前提下重构分式阶混沌系统？
• RQ2 如何设计分式微分方程的自生长机制，以从数据中自动发现正确的系统结构？
• RQ3 与现有方法相比，所提非李雅普诺夫方法在重构超混沌与非真分式阶系统方面的性能如何？
• RQ4 该方法的成功在多大程度上依赖于初始条件、采样间隔与数据点数量？
• RQ5 该方法能否在无需预先知晓系统动力学的前提下，对包括洛伦兹、陈、罗斯勒与刘型在内的多种混沌系统实现高精度重构？

主要发现

• 所提方法成功重构了超混沌与正常分式阶混沌系统，包括洛伦兹、陈、罗斯勒与刘系统，且精度极高。
• 仿真结果表明，方法收敛至正确的分式微分方程形式，例如分式阶洛伦兹系统的 D^q3_t z = x·y - (8/3)·z。
• 在多个测试案例中，方法表现出稳健性能，目标函数值随代数下降，如图11与图12所示。
• 对于分式阶洛伦兹系统，方法识别出正确形式 D^q3_t z = x·y - (8/3)·z，但收敛至精确参数 b = 8/3 存在挑战。
• 平均与最优目标函数值（lg F）随代数下降，表明优化有效，且在100–200个数据点范围内观察到收敛。
• 通过强制赋值策略（NaN/无穷大 → 0），方法对发散个体表现出鲁棒性，确保算法稳定性，且不损害目标函数最小化。