[论文解读] Recoverable Robust Optimization with Commitment

Kobayashi, Yusuke, Terao, Tatsuya|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2023

Risk and Portfolio Optimization被引用 2

一句话总结

本文提出了一种带有承诺的可恢复鲁棒优化模型，该模型要求在删除一个元素后，解决方案必须保留初始元素，仅允许一次替换。研究证明，在该模型下，加权拟阵基问题仍为多项式时间可解，而匹配和稳定集等问题则变为 NP-难，尽管区间调度和区间图上的加权稳定集问题仍可通过动态规划保持可解性。

ABSTRACT

We consider fast algorithms for monotone submodular maximization with a general matroid constraint. We present a randomized (1 - 1/e - ε)-approximation algorithm that requires Õ_{ε}(√r n) independence oracle and value oracle queries, where n is the number of elements in the matroid and r ≤ n is the rank of the matroid. This improves upon the previously best algorithm by Buchbinder-Feldman-Schwartz [Mathematics of Operations Research 2017] that requires Õ_{ε}(r² + √rn) queries. Our algorithm is based on continuous relaxation, as with other submodular maximization algorithms in the literature. To achieve subquadratic query complexity, we develop a new rounding algorithm, which is our main technical contribution. The rounding algorithm takes as input a point represented as a convex combination of t bases of a matroid and rounds it to an integral solution. Our rounding algorithm requires Õ(r^{3/2} t) independence oracle queries, while the previously best rounding algorithm by Chekuri-Vondrák-Zenklusen [FOCS 2010] requires O(r² t) independence oracle queries. A key idea in our rounding algorithm is to use a directed cycle of arbitrary length in an auxiliary graph, while the algorithm of Chekuri-Vondrák-Zenklusen focused on directed cycles of length two.

研究动机与目标

• 建模在承诺约束下的鲁棒优化，即在发生故障后，初始解决方案的元素必须被保留。
• 分析在该新模型下，基本组合优化问题的鲁棒对偶问题的计算复杂性。
• 识别在承诺和补救约束下，哪些原本多项式时间可解的问题仍保持可解性。
• 为特定鲁棒变体开发高效算法，特别是带颜色的区间调度和区间图上的加权稳定集问题。
• 探索有界遗憾与鲁棒优化问题之间的联系，特别是在区间调度背景下的关系。

提出的方法

• 提出两阶段优化模型：首先选择第一阶段解 S，然后在删除一个元素 f 后，通过添加一个元素 e 得到 S′ = S−f+e。
• 将鲁棒对偶定义为在干扰和补救操作的 min-max 优化下，最大化第二阶段解的最坏情况权重。
• 使用动态规划求解带颜色的鲁棒区间调度问题，将经典区间调度算法扩展以处理红色和蓝色区间。
• 应用可行性与遗憾分析，证明动态规划方法的正确性，特别是针对有界遗憾变体。
• 将鲁棒区间调度问题归约为有界遗憾问题，利用区间的结构特性和备用方案的性质。
• 证明拟阵是唯一在带有承诺的鲁棒模型下，名义最优解仍保持最优的问題类别。

实验结果

研究问题

• RQ1 在带有承诺的鲁棒对偶问题下，哪些组合优化问题仍为多项式时间可解？
• RQ2 名义问题的最优解是否也能在带有承诺的鲁棒模型下保持最优？如果是，其结构条件是什么？
• RQ3 带颜色的区间调度问题的有界遗憾版本是否为多项式时间可解？
• RQ4 在承诺模型下，匹配和稳定集问题的鲁棒对偶问题的计算复杂性如何？
• RQ5 鲁棒拟阵基问题是否仍保持可解性？其有界遗憾版本的复杂性如何？

主要发现

• 加权拟阵基问题在鲁棒对偶下的最优解与名义最优解一致，且仅拟阵类具有此性质。
• 二分图中无权稳定集问题的鲁棒对偶可通过动态规划在多项式时间内求解。
• 区间图中加权稳定集问题（即区间调度）的鲁棒对偶可通过基于区间端点的动态规划算法在多项式时间内求解。
• 在承诺模型下，鲁棒匹配和稳定集问题即使在二分图中也是 NP-难的。
• 带颜色的区间调度问题的有界遗憾版本为多项式时间可解，从而可通过归约求解鲁棒对偶问题。
• 尽管主鲁棒问题已可高效求解，鲁棒拟阵基问题的有界遗憾版本的复杂性仍为开放问题。