[论文解读] Recurrence and transience of multidimensional elephant random walks

Shuo Qin|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2023

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

本文解决了Bertoin（2022）关于多维大象随机游走（MERW）的猜想，证明了当 $ d \geq 3 $ 时游走为瞬时的，并在 $ d=2 $ 时于 $ p = 5/8 $ 处确立相变，在 $ d=1 $ 时于 $ p = 3/4 $ 处确立相变。对于 $ p \leq 3/4 $，本文给出了Berry-Esseen型界，并刻画了 $ p > 3/4 $ 时 $ S_n / n^{2p-1} $ 的极限分布，同时提供了精确的逃离速率估计。

ABSTRACT

We prove a conjecture by Bertoin that the multi-dimensional elephant random walk on $\mathbb{Z}^d$($d\geq 3$) is transient and the expected number of zeros is finite. We also provide some estimates on the rate of escape. In dimensions $d= 1, 2$, we prove that phase transitions between recurrence and transience occur at $p=(2d+1)/(4d)$. Let $S$ be an elephant random walk with parameter $p$. For $p \leq 3/4$, we provide a Berry-Esseen type bound for properly normalized $S_n$. For $p>3/4$, the distribution of $\lim_{n o \infty} S_n/n^{2p-1}$ will be studied.

研究动机与目标

• 解决Bertoin的猜想，即当 $ d \geq 3 $ 时 $ \mathbb{Z}^d $ 上的MERW是瞬时的，且返回原点的期望次数为有限。
• 在二维中建立从常返到瞬时的相变，临界点为 $ p = 5/8 $，在一维中为 $ p = 3/4 $。
• 为归一化的MERW在 $ p \leq 3/4 $ 时推导出Berry-Esseen型界，并刻画 $ p > 3/4 $ 时 $ S_n / n^{2p-1} $ 的几乎必然极限。
• 提供MERW逃离速率的精确下界，包括当 $ p \geq 1/(2d) $ 且 $ d \geq 3 $ 时，几乎必然有 $ \|S_n\| \geq n^{1/2} (\log n)^{-3} $。

提出的方法

• 使用鞅表示 $ \bar{S}_n = a_n S_n $，其中 $ a_n $ 是通过伽马函数和渐近分析导出的确定性缩放因子。
• 通过标准正态分布CDF $ \Phi $ 的Lipschitz性质，应用鞅的Berry-Esseen型界，利用方差归一化 $ \sum_{k=1}^n a_k^2 $。
• 利用Stirling渐近展开和泰勒展开，推导出 $ |a_n^2 - \Gamma(2p)^2 n^{2-4p}| \leq C_2(p) n^{1-4p} $ 的精确界，以控制归一化误差。
• 通过恒等式 $ |\frac{n a_n^2}{3-4p} - \sum_{k=1}^n a_k^2| \leq C_1(p) n^{\max(2-4p,0)} $ 分析 $ \sum_{k=1}^n a_k^2 $ 的行为，当 $ p < 3/4 $ 时成立，当 $ p = 3/4 $ 时其渐近行为为 $ \sim n \log n $。
• 利用 $ \bar{S}_n / \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2} $ 收敛于标准正态分布，并通过缩放变换将其转换回原始游走 $ S_n $。
• 利用正态CDF的指数尾部衰减特性，控制当 $ |t| $ 较大时CDF差值的误差，确保对所有 $ t $ 的一致界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ d \geq 3 $ 时，$ \mathbb{Z}^d $ 上的MERW是否为瞬时的？返回原点的期望次数是否为有限？
• RQ2 在 $ d=2 $ 时是否存在从常返到瞬时的相变？若存在，临界点 $ p $ 的值是多少？
• RQ3 MERW的逃离速率如何？能否为 $ \|S_n\| $ 建立精确的下界？
• RQ4 当 $ p \leq 3/4 $ 时，能否为归一化的MERW建立Berry-Esseen型界？收敛速率如何？
• RQ5 当 $ p > 3/4 $ 时，$ S_n / n^{2p-1} $ 的几乎必然极限是什么？极限随机向量的分布是什么？

主要发现

• 当 $ d \geq 3 $ 时，MERW是瞬时的，且对任意 $ \nu \in (0, \frac{1}{2} - \frac{1}{d}) $，有 $ \mathbb{E}\left(\sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{1}_{\{\|S_n\| \leq n^\nu\}}\right) < \infty $，这意味着对充分大的 $ n $ 几乎必然有 $ \|S_n\| > n^\nu $。
• 当 $ d \geq 3 $ 且 $ p \geq 1/(2d) $ 时，几乎必然对所有但有限多个 $ n $，有 $ \|S_n\| \geq n^{1/2} (\log n)^{-3} $。
• 在 $ d=2 $ 时，当 $ p < 5/8 $ 时MERW是常返的，当 $ p \geq 5/8 $ 时为瞬时的，确立了精确的相变。
• 在 $ d=1 $ 时，ERW在 $ p \leq 3/4 $ 时为常返，在 $ p > 3/4 $ 时为瞬时，确认了已知的相变。
• 当 $ p < 3/4 $ 时，Berry-Esseen界满足 $ \left| \mathbb{P}\left( \frac{\sqrt{3-4p} S_n}{\sqrt{n}} \leq t \right) - \Phi(t) \right| \leq C_4(p) n^{-\min(1,3-4p)/2} $，对所有 $ t $ 一致成立。
• 当 $ p = 3/4 $ 时，界为 $ \left| \mathbb{P}\left( \frac{S_n}{\sqrt{n \log n}} \leq t \right) - \Phi(t) \right| \leq C_1 (\log n)^{-1/2} $，对所有 $ t $ 一致成立，且极限分布满足 $ S_n / \sqrt{n \log n} \to \mathcal{N}(0,1) $ 在分布上收敛。