[论文解读] Recursive quantum algorithm to find the lowest eigenstate of a general Hamiltonian

Jeongho Bang, Seung-Woo Lee+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种递归量子算法，通过辅助量子比特迭代增强任意初始态中最低本征态分量的振幅，从而实现对任意哈密顿量的基态的保真度制备。该方法的总迭代次数与 𝒪(D⁻¹ε⁻⁰.¹⁹) 成比例，其中 D 为能隙，ε 为误差概率。

ABSTRACT

We propose a quantum algorithm to obtain the lowest eigenstate of any Hamiltonian simulated by a quantum computer. The proposed algorithm begins with an arbitrary initial state of the simulated system. A finite series of transforms is iteratively applied to the initial state assisted with an ancillary qubit. The fraction of the lowest eigenstate in the initial state is then amplified up to $\simeq 1$. We prove that our algorithm can faithfully work for any arbitrary Hamiltonian in the theoretical analysis. Numerical analyses are also carried out. We firstly provide a numerical proof-of-principle demonstration with a simple Hamiltonian in order to compare our scheme with the so-called Demon-like algorithmic (DLAC), recently proposed in [Nature Photonics 8, 113 (2014)]. The result shows a good agreement with our theoretical analysis, exhibiting the comparable behavior to the best cooling with the DLAC method. We then consider a random Hamiltonian model for further analysis of our algorithm. By numerical simulations, we show that the total number $n_c$ of iterations is proportional to $\simeq {\cal O}(D^{-1}\epsilon^{-0.19})$, where $D$ is the difference between the two lowest eigenvalues, and $\epsilon$ is an error defined as the probability that the finally obtained system state is in an unexpected (i.e. not the lowest) eigenstate.

研究动机与目标

• 开发一种通用的量子算法，无需事先了解能谱信息，即可制备任意哈密顿量的最低本征态。
• 通过实现对一般哈密顿量更广泛适用性，克服现有方法（如类恶魔算法冷却，DLAC）的局限性。
• 通过单个辅助量子比特对基态分量进行迭代增强，实现高保真度的基态制备。
• 从理论和数值上验证该算法的收敛行为及其与能隙 D 和误差 ε 的缩放关系。

提出的方法

• 算法从系统量子比特的任意初始量子态和准备在叠加态的辅助量子比特开始。
• 应用一系列受控单位操作，将系统与辅助量子比特纠缠，并通过测量和反馈投影到基态分量上。
• 该过程迭代重复，每一圈通过依赖于能隙 D 的递归变换，增强最低本征态的振幅。
• 关键变换依赖于基于系统态能量的条件相位翻转，通过受控- U 操作实现，其中 U 为时间演化算符。
• 算法采用递归结构以增强基态振幅，每次迭代均提高与目标态的重叠度。
• 理论分析证明，该算法可对任意哈密顿量收敛至基态，数值模拟验证了其缩放行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种递归量子算法，可在无需事先了解能谱信息的前提下，高效制备任意哈密顿量的基态？
• RQ2 该算法的收敛速率如何随两个最低本征态之间的能隙 D 变化？
• RQ3 最终态保真度中，迭代次数与目标误差 ε 之间的关系是什么？
• RQ4 对于一个简单模型哈密顿量，该算法与类恶魔算法冷却（DLAC）方法相比性能如何？
• RQ5 随机哈密顿量的总迭代次数的数值缩放行为如何？

主要发现

• 数值模拟结果证实，该算法在简单模型哈密顿量上能以高保真度制备最低本征态。
• 在简单模型中，该算法的收敛行为与类恶魔算法冷却（DLAC）方法的最佳性能相当。
• 对随机哈密顿量的数值模拟表明，总迭代次数 𝑛𝑐 的缩放行为为 𝒪(D⁻¹ε⁻⁰.¹⁹)，其中 D 为能隙，ε 为误差概率。
• ε⁻⁰.¹⁹ 的缩放指数表明收敛速率虽非最优但可行，提示未来存在进一步优化空间。
• 该方法在多种哈密顿量结构中均保持高保真度与收敛性，证实其对一般哈密顿量的通用性。
• 理论分析确认，该算法对任意任意哈密顿量均能可靠工作，无论其能谱结构如何。