[论文解读] Reduced Order Modeling of Diffusively Coupled Network Systems: An Optimal Edge Weighting Approach

Xiaodong Cheng, Lanlin Yu+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于扩散耦合网络系统降阶建模的最优边加权方法，其中在给定图聚类的前提下，通过迭代算法调整商网络中的边权重，以最小化近似误差的 $\mathcal{H}_{2}$-范数。与基于聚类的投影方法相比，该方法将精度提高了 41.93%，在 14 个节点的传感器网络实例中，最终误差降低至 0.0187，同时保持了网络结构。

ABSTRACT

This paper studies reduced-order modeling of dynamic networks with strongly connected topology. Given a graph clustering of an original complex network, we construct a quotient graph with less number of vertices, where the edge weights are parameters to be determined. The model of the reduced network is thereby obtained with parameterized system matrices, and then an edge weighting procedure is devised, aiming to select an optimal set of edge weights that minimizes the approximation error between the original and the reduced-order network models in terms of H2-norm. The effectiveness of the proposed method is illustrated by a numerical example.

研究动机与目标

• 为解决现有基于聚类的模型降阶方法在聚类形成后即固定降阶模型的局限性，忽略通过边权重调节潜在的精度提升空间。
• 将降阶建模问题形式化为一个优化问题，其中商网络中的边权重为可优化的自由参数。
• 最小化原始网络模型与降阶网络模型之间近似误差的 $\mathcal{H}_{2}$-范数。
• 开发一种计算上可行的算法，能够收敛至具有双线性矩阵不等式（BMI）约束的非凸优化问题的局部最优解。
• 确保降阶模型在保持原始网络结构的同时，精度高于标准的基于投影的方法。

提出的方法

• 该方法利用给定图聚类生成的商图构建参数化的降阶模型，将边权重设为可调参数。
• 通过 $\mathcal{H}_{2}$-范数量化近似误差，从而形成一个以边权重为变量、最小化该误差的优化问题。
• 通过凸-凹分解处理非凸的 BMI 约束，将其转化为一系列凸的线性矩阵不等式（LMI）子问题。
• 提出一种迭代算法，初始权重取自基于聚类的投影方法，用于求解 LMI 子问题，并收敛至局部最优解。
• 该算法确保收敛性，并允许通过系统性调节边权重来提升模型精度，而无需改变网络拓扑结构。
• 使用 SeDuMi 求解器实现该方法，用于在每次迭代中求解凸子问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在保持网络结构的前提下，通过优化降阶网络模型中的边权重，使近似误差的 $\mathcal{H}_{2}$-范数最小化？
• RQ2 在网络模型降阶的背景下，如何高效求解具有双线性矩阵不等式约束的非凸优化问题？
• RQ3 通过最优边加权，与标准的基于聚类的投影方法相比，近似精度最多可提升多少？
• RQ4 所提出的迭代算法是否能收敛至有意义的解，并在误差降低方面优于基线方法？
• RQ5 该方法是否可应用于有向、强连通的扩散耦合网络，同时保持结构保真度？

主要发现

• 在 14 个节点的传感器网络实例中，所提出的边加权方法相比基于聚类的投影方法，将 $\mathcal{H}_{2}$-范数近似误差降低了 41.93%。
• 最终实现的近似误差为 0.0187，较基线方法的 0.0322 显著降低，表明精度有显著提升。
• 迭代算法在 72 次迭代后收敛，容差为 $\varepsilon = 10^{-5}$，确保了解的稳定性和可靠性。
• 最优边权重为 $\hat{w}^{*} = [0.6826, 0.2394, 0.6826, 0.0948, 0.0537, 0.1446, 0.0537, 0.1446]$，与初始基于投影的权重存在显著差异。
• 该方法成功保持了原始系统的网络结构和拓扑，同时通过参数化边权重实现了系统性的误差最小化。