[论文解读] Reducibility of polynomials $f(x,y)$ modulo $p$

Wolfgang M. Ruppert|ArXiv.org|Aug 5, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 18

一句话总结

本文建立了关于素数模 $ p $ 的严格界限，使得绝对不可约多项式 $ f(x,y) \in \mathbb{Z}[x,y] $ 的约化在模 $ p $ 下仍保持绝对不可约，其中 $ f $ 的双次数为 $ (m,n) $，高度为 $ H $。证明表明，若 $ p > [m(n+1)n^2 + (m+1)(n-1)m^2]^{mn + \frac{n-1}{2}} \cdot H^{2mn + n - 1} $，则 $ f \bmod p $ 是绝对不可约的。此外，在假设 Bouniakowsky 猜想的前提下，本文展示了存在无穷多组此类多项式，它们在 $ \mathbb{Q} $ 上绝对不可约，但在模 $ p \geq H^{2m} $ 的素数下可约，从而证明了当 $ n=1 $ 时，指数 $ 2m $ 是最优的。该结果改进了先前的估计，并通过微分形式提供了一种检测可约性的准则。

ABSTRACT

We consider absolutely irreducible polynomials $f \in Z[x,y]$ with $°_x(f)=m$, $°_y(f)=n$ and height $H$. We show that for any prime $p$ with $p>c_{mn} H^{2mn+n-1}$ the reduction $f \bmod p$ is also absolutely irreducible. Furthermore if the Bouniakowsky conjecture is true we show that there are infinitely many absolutely irreducible polynomials $f \in Z[x,y]$ which are reducible mod $p$ where $p$ is a prime with $p>H^{2m}$.

研究动机与目标

• 确定一个充分条件，使得绝对不可约多项式 $ f \in \mathbb{Z}[x,y] $ 在模 $ p $ 下的约化 $ f \bmod p $ 仍保持绝对不可约。
• 改进现有对保证模 $ p $ 下绝对不可约性的 $ p $ 的界限，特别是针对双次数为 $ (m,n) $ 的多项式。
• 研究 $ p $ 的界限中关于高度 $ H $ 的指数的紧致性，尤其是其与高度的关系。
• 在 Bouniakowsky 猜想的假设下，探讨是否存在无穷多组在 $ \mathbb{Q} $ 上绝对不可约但在大素数 $ p \geq H^{2m} $ 下可约的多项式。

提出的方法

• 使用基于闭 1-形式的准则：若存在双次数受控的多项式 $ r,s $ 满足 $ \partial_y(r/f) = \partial_x(s/f) $，则多项式 $ f $ 在模 $ p $ 下可约。
• 将条件转化为在 $ \overline{\mathbb{F}_p} $ 上的线性系统，其中非平凡解的存在性取决于由 $ f $ 的系数导出的矩阵 $ M(f) $ 的所有 $ (2mn + n - 1) \times (2mn + n - 1) $ 子式的消失。
• 应用对 $ f $ 的系数大小和 $ r,s $ 的次数的界限，推导出一个显式上界，即当 $ p $ 超过此上界时，$ M(f) $ 必有满秩，从而保证模 $ p $ 下的不可约性。
• 利用闭 1-形式的结构定理和赋值理论论证，从 $ f $ 的代数结构刻画此类 $ r,s $ 的存在性。
• 构造显式多项式族 $ f_\ell(x,y) = (\ell x^m - 2x + 2) + (x^m - \ell)y^n $ 以检验该界限，并证明当 $ g_m(\ell) = (\ell^2 + 2)^m - 2^m \ell $ 为素数时，多项式可约。
• 依赖 Bouniakowsky 猜想，断言 $ g_m(\ell) $ 对无穷多个 $ \ell $ 为素数，从而生成无穷多组在 $ \mathbb{Q} $ 上不可约但在模 $ p \geq H(f)^{2m} $ 下可约的多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 使得绝对不可约多项式 $ f \in \mathbb{Z}[x,y] $ 的约化 $ f \bmod p $ 仍保持绝对不可约的最小素数 $ p $ 是多少？
• RQ2 能否改进 $ p $ 的界限中关于高度 $ H $ 的指数？当 $ n=1 $ 时，$ 2m $ 是否为最优指数？
• RQ3 在何种条件下，多项式 $ f \in \mathbb{Z}[x,y] $ 在 $ \mathbb{Q} $ 上不可约，但在大素数 $ p $ 下可约？
• RQ4 是否存在一个无穷多项式族，其高度有界，且 $ p $ 递增，满足 $ p \geq H(f)^{2m} $？
• RQ5 能否通过微分形式和有限域上的线性代数推导出 $ p $ 的界限？

主要发现

• 本文建立了新的显式界限：若 $ p > [m(n+1)n^2 + (m+1)(n-1)m^2]^{mn + \frac{n-1}{2}} \cdot H(f)^{2mn + n - 1} $，则 $ f \bmod p $ 是绝对不可约的。
• 当 $ n=1 $ 时，界限简化为 $ p > (2m)^m \cdot H(f)^{2m} $，且本文在 Bouniakowsky 猜想下证明了指数 $ 2m $ 是最优的。
• 在 Bouniakowsky 猜想的假设下，存在无穷多组双次数为 $ (m,n) $ 的绝对不可约多项式 $ f \in \mathbb{Z}[x,y] $，它们在模 $ p \geq H(f)^{2m} $ 的素数下可约，从而证明了在此情形下指数 $ 2m $ 的紧致性。
• 构造的多项式族 $ f_\ell(x,y) = (\ell x^m - 2x + 2) + (x^m - \ell)y^n $ 产生在 $ \mathbb{Q} $ 上不可约但在模 $ p = g_m(\ell) $ 下可约的多项式，其中 $ g_m(\ell) = (\ell^2 + 2)^m - 2^m \ell $。
• 多项式 $ g_m(t) = (t^2 + 2)^m - 2^m t $ 在 $ \mathbb{Q} $ 上不可约，且满足 $ \gcd\{g_m(\ell) : \ell \in \mathbb{N}\} = 1 $，支持 Bouniakowsky 猜想适用于生成无穷多个此类素数。
• 本文表明，高度项中的指数 $ 2mn + n - 1 $ 在 $ n \geq 2 $ 时可能是可改进的，因为在已知情形如 $ m=2, n=2 $ 下，该界限并不紧致，且存在更优的指数。