[论文解读] Reduction theory for mapping class groups and applications to moduli spaces

Enrico Leuzinger|ArXiv.org|Jan 10, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文建立了映射类群有限指数子群的精确约化理论，在Teichmüller空间中构造了显式的基本域。证明了在Teichmüller度量下，模空间的渐近锥与曲线复形商的欧几里得锥之间存在双利普希茨等价关系，并通过证明当 $d(S) \geq 2$ 时，模空间在其Teichmüller度量的拟等距类中不具有有限体积、具有一致有界正数量曲率的黎曼度量，从而证实了Farb的猜想。该研究解决了Teichmüller几何与几何群论中的一个关键猜想。

ABSTRACT

Let $S=S_{g,p}$ be a compact, orientable surface of genus $g$ with $p$ punctures and such that $d(S):=3g-3+p>0$. The mapping class group $ extup{Mod}_S$ acts properly discontinuously on the Teichmüller space $\mathcal T(S)$ of marked hyperbolic structures on $S$. The resulting quotient $\mathcal M(S)$ is the moduli space of isometry classes of hyperbolic surfaces. We provide a version of precise reduction theory for finite index subgroups of $ extup{Mod}_S$, i.e., a description of exact fundamental domains. As an application we show that the asymptotic cone of the moduli space $\mathcal M(S)$ endowed with the Teichmüller metric is bi-Lipschitz equivalent to the Euclidean cone over the finite simplicial (orbi-) complex $ extup{Mod}_S\backslash\mathcal C(S)$, where $\mathcal C(S)$ of $S$ is the complex of curves of $S$. We also show that if $d(S)\geq 2$, then $\mathcal M(S)$ does \emph{not} admit a finite volume Riemannian metric of (uniformly bounded) positive scalar curvature in the bi-Lipschitz class of the Teichmüller metric. These two applications confirm conjectures of Farb.

研究动机与目标

• 为作用在Teichmüller空间上的有限指数、无扭、纯映射类群子群发展精确的约化理论。
• 为这类子群在Teichmüller空间上的作用构造显式的基本域。
• 利用渐近锥分析模空间的大尺度几何。
• 解决Farb关于在与Teichmüller度量拟等距的类中，模空间不存在有限体积、一致正曲率度量的猜想。
• 通过粗指标理论与幂零群的强诺维科夫猜想，建立正数量曲率的几何障碍。

提出的方法

• 利用曲线复形 $ \mathcal{C}(S) $ 中顶点 $ \alpha $ 关联的长度函数 $ l_\alpha(x) $ 对Teichmüller空间进行剖分，定义 $ \varepsilon $-加厚部分 $ \textup{Thick}_\varepsilon\mathcal{T}(S) $。
• 利用 $ \varepsilon $-加厚部分与曲线复形的单纯剖分，定义模空间 $ \mathcal{M}(S) = \Gamma \backslash \mathcal{T}(S) $ 上的 $ \Gamma $-不变剖分。
• 利用曲线复形及其商的结构，证明模空间 $ \mathcal{M}(S) $ 的渐近锥与 $ \Gamma \backslash |\mathcal{C}(S)| $ 的欧几里得锥之间存在双利普希茨等价关系。
• 在加厚部分边界邻域中使用FN坐标 $ (\theta, u) $ 建模类似锥的结构，微分同胚于 $ \mathcal{B}_{\varepsilon_0}(\tau) \times \mathbb{R}_{\geq 0}^{d(S)} $，其中 $ \mathcal{B}_{\varepsilon_0}(\tau) \cong T^{d(S)} $。
• 利用 $ \mathbb{R}_{\geq 0}^{d(S)} $ 中的超曲面 $ Q \subset \mathbb{R}_{\geq 0}^{d(S)} $，构造模空间 $ \mathcal{M}(S) $ 的粗可分分解 $ (A, B) $，其交集满足 $ V = A \cap B \cong T^{d(S)} \times \mathbb{R}^{d(S)-1} $。
• 应用广义粗指标理论与幂零群的强诺维科夫猜想，证明狄拉克算子的指标非零，从而在Teichmüller度量的拟等距类中排除了具有均匀正数量曲率的度量的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Teichmüller度量下，模空间 $ \mathcal{M}(S) $ 的渐近锥是否与某个有限单纯复形的欧几里得锥双利普希茨等价？
• RQ2 当 $ d(S) \geq 2 $ 时，模空间 $ \mathcal{M}(S) $ 是否在Teichmüller度量的拟等距类中具有有限体积、具有有界正数量曲率的黎曼度量？
• RQ3 能否通过Teichmüller空间中显式的基本域，使映射类群有限指数子群的约化理论精确化？
• RQ4 哪些几何或拓扑障碍阻止了与Teichmüller度量拟等距的模空间 $ \mathcal{M}(S) $ 上存在一致正曲率度量？
• RQ5 曲线复形 $ \mathcal{C}(S) $，特别是其商 $ \Gamma \backslash \mathcal{C}(S) $，如何控制 $ \mathcal{M}(S) $ 的大尺度几何？

主要发现

• 在Teichmüller度量下，模空间 $ \mathcal{M}(S) $ 的渐近锥与有限单纯复形 $ \Gamma \backslash \mathcal{C}(S) $ 的欧几里得锥之间存在双利普希茨等价关系，证实了Farb的一个猜想。
• 由于 $ \Gamma \backslash |\mathcal{C}(S)| $ 具有CAT(1)性质（其为球单纯形的并），渐近锥为CAT(0)，因此是可缩的。
• 当 $ d(S) \geq 2 $ 时，模空间 $ \mathcal{M}(S) $ 在Teichmüller度量的双利普希茨类中不具有有限体积、具有有界正数量曲率的黎曼度量。
• 由于幂零群的强诺维科夫猜想，其在万有覆盖 $ \mathcal{T}(S) $ 上的广义粗指标非零，从而阻碍了此类度量的存在性。
• 构造了具有 $ A \cap B \cong T^{d(S)} \times \mathbb{R}^{d(S)-1} $ 的粗可分分解 $ (A, B) $，使得K-理论指标理论可应用于检测几何障碍。
• 该结果证实了Farb的猜想，并将Chang与Block-Weinberger的早期结果推广到了黎曼曲面模空间的设定中。