[论文解读] Refined restricted inversion sequences

Dongsu Kim, Zhicong Lin|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 23被引用 13

一句话总结

本文研究了受限排列序列的精细统计量，建立了一种000避免排列序列与Simsun排列之间的新颖双射，证明了受限的双重Eulerian等分布。此外，通过顽固核法进一步细化并证明了Martinez和Savage提出的猜想，即集合$\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)$的计数由第$n$个Baxter数给出。

ABSTRACT

Recently, the study of patterns in inversion sequences was initiated by Corteel-Martinez-Savage-Weselcouch and Mansour-Shattuck independently. Motivated by their works and a double Eulerian equidistribution due to Foata (1977), we investigate several classical statistics on restricted inversion sequences that are either known or conjectured to be enumerated by {\em Catalan}, {\em Large Schröder}, {\em Baxter} and {\em Euler} numbers. One of the two highlights of our results is a fascinating bijection between $000$-avoiding inversion sequences and Simsun permutations, which together with Foata's V- and S-codes, provide a proof of a restriced double Eulerian equdistribution. The other one is a refinement of a conjecture due to Martinez and Savage that the cardinality of $\I_n(\geq,\geq,>)$ is the $n$-th Baxter number, which is proved via the so-called {\em obstinate kernel method} developed by Bousquet-Mélou.

研究动机与目标

• 研究受限排列序列的精细统计量，特别是上升数、不同元素数和末尾元素数。
• 通过一种新颖的双射，建立000避免排列序列与Simsun排列之间的联系。
• 证明Martinez和Savage提出的精细猜想，即$\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)$的计数由第$n$个Baxter数给出。
• 研究受限排列序列上上升多项式的实根性与单峰性。
• 通过V-码和S-码，将经典的Eulerian等分布推广至受限排列序列。

提出的方法

• 构建000避免排列序列与Simsun排列之间的双射，将模式避免的排列序列与排列统计量联系起来。
• 应用Foata的V-码和S-码，证明排列序列上受限的双重Eulerian等分布。
• 使用顽固核法证明$|\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)| = B_n$，即第$n$个Baxter数。
• 利用生成函数与组合构型分析受限排列序列中上升数与不同元素数的分布。
• 通过板构型上的归纳法与行列变换，将不同元素数与末尾元素数的生成函数等价化。
• 引入Simsun排列的逆上升多项式$E_n(t)$，并提出其为实根多项式的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在000避免排列序列与Simsun排列之间的双射，能够解释下降与上升统计量的等分布？
• RQ2 集合$\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)$的基数是否确实等于第$n$个Baxter数？
• RQ3 Simsun排列的上升多项式是否为实根多项式，且是否满足对数凹性与单峰性？
• RQ4 能否将$\mathfrak{S}_n$上的双重Eulerian等分布细化并推广至受限排列序列？
• RQ5 受限排列序列中不同元素数与末尾元素数的生成函数行为如何？

主要发现

• 构建了000避免排列序列与Simsun排列之间的双射，为受限双重Eulerian等分布提供了组合证明。
• 通过顽固核法证明了猜想$|\mathbf{I}_n(\geq,\geq,>)| = B_n$。
• 对于$n = 2$到$6$，Simsun排列的逆上升多项式$E_n(t)$被证明为实根多项式，支持了其为实根的猜想。
• 通过基于构型的归纳法与板变换，将受限排列序列中上升数与不同元素数的生成函数等价化。
• 在$\mathbf{I}_n$上上升数的分布与在$\mathfrak{S}_n$上相同，且上升数与末尾元素数的联合分布在$\mathfrak{S}_n$与$\mathbf{I}_n$之间也等分布。
• 计算了逆上升多项式$E_n(t)$的前几项，结果为$E_2(t) = 1 + t$，$E_3(t) = 4t + t^2$，$E_4(t) = 4t + 11t^2 + t^3$，$E_5(t) = 2t + 32t^2 + 26t^3 + t^4$，以及$E_6(t) = t + 52t^2 + 161t^3 + 57t^4 + t^5$。