[论文解读] Regular and exact (virtual) double categories

Patrick Schultz|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文引入了虚拟双范畴中的正则与精确结构，将经典正则与精确范畴推广至广义函子与箭头设备的设定。它建立了一个类似于 Cat 中的单射对象/函子性因子分解的因子分解系统，并证明在此框架下精确性等价于 Wood 的公理5，也等价于紧致 Kleisli 对象的存在，统一了形式范畴论中的关键构造。

ABSTRACT

We propose definitions of regular and exact (virtual) double categories, proving a number of results which parallel many basic results in the theory of regular and exact categories. We show that any regular virtual double category admits a factorization system which generalizes the factorization of a functor between categories into a bijective-on-objects functor followed by a fully-faithful functor. Finally, we show that our definition of exact double category is equivalent to an axiom proposed by Wood, and very closely related to the "tight Kleisli objects" studied by Garner and Shulman.

研究动机与目标

• 将经典的正则与精确范畴层次结构推广至虚拟双范畴与箭头设备的设定。
• 通过存在一个推广了 Set 中的满射/单射因子分解与 Cat 中的 bo/ff 因子分解的因子分解系统，定义正则虚拟双范畴。
• 定义精确虚拟双范畴，并证明其与 Wood 的公理5以及 Garner–Shulman 的紧致 Kleisli 对象等价。
• 提供一个尊重箭头与态射之间哲学区分的形式范畴论框架。

提出的方法

• 将虚拟双范畴中一个幺半环的坍缩定义为等化子与 Kleisli 对象的推广。
• 通过存在一个推广了 Set 中的满射/单射因子分解与 Cat 中的 bo/ff 因子分解的因子分解系统，来定义正则虚拟双范畴。
• 利用坍缩胞的普遍性质，刻画幺半环何时可通过一个箭头实现普遍因子分解。
• 应用单子及其普遍模（左与右）的理论，将坍缩胞与 Kleisli 及 Eilenberg-Moore 对象联系起来。
• 通过箭头表示与通过坍缩胞的因子分解之间的等价性，证明其与 Wood 的公理5的主要等价性。
• 利用框架双范畴与虚拟设备之间的等价性，将双范畴理论的结果转移至双范畴设定中。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典正则与精确范畴的概念如何推广至虚拟双范畴的设定？
• RQ2 当从正则范畴移动到虚拟双范畴时，其因子分解系统的适当推广是什么？
• RQ3 是否存在一个精确性在虚拟双范畴中的刻画，使其与 Wood 的公理5及紧致 Kleisli 对象理论一致？
• RQ4 幺半环的坍缩能否作为统一的范畴构造，类似于精确范畴中等化子的作用？

主要发现

• 每个正则虚拟双范畴都存在一个因子分解系统，该系统推广了 Cat 中的单射对象/全忠实因子分解。
• 虚拟双范畴中幺半环的坍缩由涉及左模与右模的普遍性质刻画，并对应于通过一个箭头的普遍因子分解。
• 虚拟双范畴中的精确性等价于 Wood 的公理5，该公理断言每个单子都同时具有 Kleisli 对象与 Eilenberg-Moore 对象。
• 坍缩胞是笛卡尔的，并对应于标准同构 $ M \cong c_M(1,i) \odot c_M(i,1) $，将结构与单子因子分解联系起来。
• 通过坍缩胞存在一个表示左 $ M $-模的普遍箭头，确保每个嵌入唯一地通过坍缩因子分解，从而确立其普遍性质。