[论文解读] Regular pairings of functors and weak (co)monads

Robert Wisbauer|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文建立了一种类别框架，将弱（co）单子与函子的正则配对联系起来，表明此类配对——由满足特定复合恒等式的自然变换定义——自然诱导出弱单子与余单子。其关键贡献在于通过正则函子，建立了弱（co）单子与广义伴随关系之间的对偶性，将经典的单子-余单子理论推广至非单位元情形。

ABSTRACT

For functors $L:\A o \B$ and $R:\B o \A$ between any categories $\A$ and $\B$, a {\em pairing} is defined by maps, natural in $A\in \A$ and $B\in \B$, $$\xymatrix{\Mor_\B (L(A),B) \ar@<0.5ex>[r]^α & \Mor_\A (A,R(B))\ar@<0.5ex>[l]^β}.$$ $(L,R)$ is an {\em adjoint pair} provided $α$ (or $β$) is a bijection. In this case the composition $RL$ defines a monad on the category $\A$, $LR$ defines a comonad on the category $\B$, and there is a well-known correspondence between monads (or comonads) and adjoint pairs of functors. For various applications it was observed that the conditions for a unit of a monad was too restrictive and weakening it still allowed for a useful generalised notion of a monad. This led to the introduction of {\em weak monads} and {\em weak comonads} and the definitions needed were made without referring to this kind of adjunction. The motivation for the present paper is to show that these notions can be naturally derived from pairings of functors $(L,R,α,β)$ with $α= α\dcirc β\dcirc α$ and $β= β\dcircα\dcircβ$. Following closely the constructions known for monads (and unital modules) and comonads (and counital comodules), we show that any weak (co)monad on $\A$ gives rise to a regular pairing between $\A$ and the category of {\em compatible (co)modules}.

研究动机与目标

• 将经典伴随函子与单子之间的对应关系推广至单位条件被放宽的场景。
• 解决传统单子要求严格单位的局限性，该局限性在弱霍普夫代数和缠绕结构等应用中过于严格。
• 通过从具有单位约束的伴随关系转向正则函子配对，为弱（co）单子提供范畴论基础。
• 建立弱（co）单子与满足特定复合恒等式（α·β·α = α，β·α·β = β）的函子配对之间的对偶性。
• 证明弱（co）单子在范畴 A 上可诱导出与该单子的相容（co）模范畴之间的正则配对，从而推广埃伦伯格-莫尔构造。

提出的方法

• 在范畴 A 与 B 之间定义函子的正则配对 (L, R, α, β)，其中 α: Mor_B(L(A), B) → Mor_A(A, R(B)) 与 β: Mor_A(A, R(B)) → Mor_B(L(A), B) 为自然变换。
• 施加恒等式 α·β·α = α 与 β·α·β = β，将伴随函子的双射对应关系推广至非双射但正则的设定。
• 通过分配律将自函子提升至模或余模范畴，从而从此类配对构造弱单子。
• 使用图示推理验证所提升函子满足弱单子（r-单位性）与弱余单子（r-余单位性）的公理。
• 建立范畴 A 上弱单子与该单子的相容模范畴之间正则配对的对应关系。
• 对构造进行对偶化，证明范畴 A 上的弱余单子源于与相容余模范畴的正则配对。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典伴随函子与单子之间的对应关系推广至无需单位的场景？
• RQ2 函子配对 (L, R, α, β) 需满足何种结构条件，才能确保诱导出的复合 RL 构成弱单子？
• RQ3 能否在不需严格余单位的条件下，从函子配对导出弱余单子？
• RQ4 在弱（co）单子设定下，分配律在将自函子提升至模与余模范畴时起到何种作用？
• RQ5 在弱（co）单子结构下，相容模与余模范畴与原始范畴之间有何关系？

主要发现

• 范畴 A 上的任意弱单子均可由满足 α·β·α = α 与 β·α·β = β 的正则函子配对 (L, R, α, β) 诱导得出。
• 当图式 (7.5) 可交换时，将自函子 F 提升至 F-模范畴的结果为 r-单位性单子 (F̂, μ̂, η̂)。
• 当图式 (7.3) 可交换时，所提升的单子 (F̂, μ̂, η̂) 成为满足弱化单位条件的弱单子。
• 当相应图式可交换时，对偶构造在 F-模范畴上产生一个弱余单子 (Ḡ, δ̄, ε̄)。
• 弱单子的相容模范畴与原始范畴之间存在正则配对，从而推广了埃伦伯格-莫尔构造。
• 该理论通过将弱霍普夫代数与弱缠绕结构嵌入更广泛的正则函子配对范畴语境中，为它们提供了统一的框架。