[论文解读] Regular Tur\'an numbers and some Gan-Loh-Sudakov-type problems

Stijn Cambie, Rémi de Joannis de Verclos+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 24被引用 8

一句话总结

本文引入了正则图的图论极值数（regular Turán numbers），这是经典图论极值数的一种自然变体，要求宿主图必须是正则图，并为不含三角形的正则图建立了精确的界限。研究证明了一个超饱和结果：当 $n$ 为奇数且 $k > 2\lfloor n/5 \rfloor$ 时，$k$-正则图至少包含 $\frac{1}{300}n^2$ 个三角形。此外，根据图的色数与奇偶性，本文刻画了正则图论极值数表现出经典行为或异常行为的图类。

ABSTRACT

Motivated by a Gan-Loh-Sudakov-type problem, we introduce the regular Tur\\'an numbers, a natural variation on the classical Tur\\'an numbers for which the host graph is required to be regular. Among other results, we prove a striking supersaturation version of Mantel's theorem in the case of a regular host graph of odd order. We also characterise the graphs for which the regular Tur\\'an numbers behave classically or otherwise.

研究动机与目标

• 将正则图论极值数的形式化并加以研究，即要求宿主图为正则图，作为经典图论极值理论的一种自然变体。
• 在奇偶性约束下，解决正则图论极值数在奇圈（特别是三角形）情况下的行为。
• 建立一个与经典结果显著不同的正则图超饱和结果。
• 刻画所有满足 $\chi(H) = 3$ 的图 $H$，使得其正则图论极值数偏离经典 Erdős–Stone 渐近行为。
• 将正则图论极值数框架与 Gan–Loh–Sudakov 类问题联系起来，这些问题同时对图的阶与大小施加约束。

提出的方法

• 将正则图论极值数 $\operatorname{ex}_r(n,H)$ 定义为：存在一个 $n$ 个顶点的 $k$-正则 $H$-自由图时，最大的 $k$ 值。
• 应用极值图论工具，包括 Andrásfai–Erdős–Sós 定理与 Häggkvist 定理，以界定含奇圈的非二分图的最小度。
• 使用超饱和技术证明：当 $n$ 为奇数且正则图的度超过某一阈值时，其三角形数量为二次数量级。
• 通过凸性论证与组合恒等式，最大化极值构型中的三角形数量，尤其关注完全图的补图。
• 通过结构分解分析极值图，表明将度对替换为极端值可增加三角形数量。
• 依赖握手引理与奇偶性约束，为正则三角形自由图建立紧致上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $H = C_3$ 且 $n$ 为奇数时，$n$ 个顶点的 $k$-正则 $H$-自由图的最大度是多少？
• RQ2 当 $n$ 为奇数时，正则图中三角形的超饱和行为与一般图相比有何不同？
• RQ3 对于满足 $\chi(H) = 3$ 的哪些图 $H$，其正则图论极值数会偏离经典 Erdős–Stone 渐近行为？
• RQ4 是否可以对 $H = C_{2\ell-1}$ 的正则图论极值数的极值图进行完全刻画？
• RQ5 在同时固定阶与大小的 Gan–Loh–Sudakov 类问题中，正则性起到了何种作用？

主要发现

• 当 $n$ 为奇数时，正则图论极值数 $\operatorname{ex}_r(n,K_3)$ 恰好为 $2\lfloor n/5 \rfloor$，且该界是紧致的。
• 对于任意 $n$ 为奇数且 $k > 2\lfloor n/5 \rfloor$ 的 $k$-正则图，其三角形数量至少为 $\frac{1}{300}n^2$。
• 当 $n$ 为偶数时，$\operatorname{ex}_r(n,K_3) = \frac{n}{2}$，与经典 Mantel 定理一致。
• 对于满足 $\chi(H) \neq 3$ 的图 $H$，有 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\operatorname{ex}_r(n,H) = 1 - \frac{1}{\chi(H)-1}$，与经典 Erdős–Stone 定理一致。
• 本文通过两种基于完全二分图的构造，刻画了所有满足 $\chi(H) = 3$ 且正则图论极值数行为异常（即非经典）的图 $H$。
• 对于 $\operatorname{ex}_r(n,C_5)$ 的极值图是唯一的，且为 $K_{n-1}$ 的补图以及 $K_n \setminus M$（当 $n \geq 9$ 时）。