[论文解读] Regularity and convergence rates for the Lyapunov exponents of linear co-cycles

Wilhelm Schlag|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文在 Lyapunov 指数之间满足间隙条件的前提下，建立了环面上的 Diophantine 转移的线性共循环的 Hölder 连续性。利用级联原理和正则性估计，证明了不同 Lyapunov 指数在参数变化下保持分离，并以 Hölder 连续方式变化，且通过大偏差估计量化了其向无限尺度指数收敛的速率。

ABSTRACT

We study linear co-cycles in GL(d,R) (or C) depending on a parameter (in a Lipschitz or Holder fashion) and establish Holder regularity of the Lyapunov exponents for the shift dynamics on the base. We also obtain rates of convergence of the finite volume exponents to their infinite volume limits. The technique is that developed jointly with Michael Goldstein for Schroedinger co-cycles. In particular, we extend the Avalanche Principle, which had been formulated originally for SL(2,R) co-cycles, to GL(d,R).

研究动机与目标

• 建立线性共循环在 Diophantine 环面移位上 Lyapunov 指数作为参数函数的正则性性质。
• 证明当在某点处不同 Lyapunov 指数彼此分离时，它们在该点邻域内保持分离，并以 Hölder 连续方式依赖于参数。
• 推导有限尺度 Lyapunov 指数收敛至其无限尺度极限的最优收敛速率。
• 在解析与 Hölder 正则性假设下，将 $SL(2,\mathbb{R})$ 的结果推广至 $GL(d,\mathbb{R})$ 和 $GL(d,\mathbb{C})$ 共循环。
• 将确定性框架与随机矩阵乘积联系起来，表明指数收敛性蕴含随机情形下正则性的紧致性。

提出的方法

• 分析依赖于级联原理，即对长链可逆矩阵乘积的确定性估计，该方法控制范数增长，并在 Lyapunov 指数近似中实现误差控制。
• 证明利用间隙条件 $\lambda_j(E) - \lambda_{j+1}(E) > \kappa > 0$ 确保参数 $E\in\mathcal{E}$ 上指数模连续性的统一控制。
• 对共循环 $A(x,E)$ 假设基空间 $x\in\mathbb{T}$ 上的解析性以及参数 $E\in\mathcal{E}$ 上的一致 Hölder 连续性，从而可应用复分析与摄动技术。
• 采用大偏差估计（LDTs）量化有限尺度 Lyapunov 指数收敛至其无限尺度对应物的速率，在适当条件下推导出指数衰减率。
• 该论证源自先前对 $SL(2,\mathbb{R})$ Schrödinger 共循环的研究，但已扩展至无对称性假设的高维 $GL(d,K)$ 共循环。
• 对于随机矩阵乘积，该方法与现有关于指数收敛性与不变测度的结果相联系，表明在确定性情形下 Hölder 正则性是紧致的，但在强混合情形下随机情形下正则性可能更优。

实验结果

研究问题

• RQ1 在线性共循环的 Lyapunov 指数在 Diophantine 环面移位上，其在小参数扰动下何时保持分离？
• RQ2 当指数之间存在正间隙时，Lyapunov 指数作为参数 $E$ 的函数，其最优模连续性是什么？
• RQ3 有限尺度 Lyapunov 指数以何种速率收敛至其无限尺度极限？在不同动力学假设下，最优收敛速率如何？
• RQ4 确定性共循环的正则性结果能否推广至高维 $GL(d,K)$ 系统？间隙大小如何影响 Hölder 指数？
• RQ5 在确定性情形下的正则性结果与随机矩阵情形下的结果相比如何，特别是在收敛速率与 Lyapunov 指数正则性方面？

主要发现

• 若在某点 $E_0$ 处所有 Lyapunov 指数彼此分离，则它们在 $E_0$ 的邻域内保持分离，且每个指数在 $E$ 上局部 Hölder 连续。
• 在对所有 $j < d$ 满足统一间隙条件 $\lambda_j(E) - \lambda_{j+1}(E) > \kappa > 0$ 的前提下，Lyapunov 指数 $\lambda_j(E)$ 在 $E$ 上全局 Hölder 连续，Hölder 指数 $\alpha$ 依赖于 $\kappa$。
• 有限尺度 Lyapunov 指数收敛至其无限尺度极限的速率通过大偏差估计量化，其形式为 $\exp(-n^{\tau})$，其中 $\tau > 0$。
• 对于具有 Diophantine 移位的高维环面 $\mathbb{T}^\nu$，类似结果成立，但模连续性较弱，且收敛速率受限于强大偏差估计的可用性。
• 在随机矩阵情形下，Lyapunov 指数的指数收敛性表明，Hölder 正则性结果是紧致的，且在强混合设定下可能获得更优正则性。
• 本文表明，在确定性设定下正则性结果是最优的，因为若无更强假设，Hölder 模无法改进，且当 $d > 2$ 时 $\kappa$ 的依赖关系不可避免。