[论文解读] Regularity criteria in weak spaces for Navier-Stokes equations in R3

Zhihui Cai, Jian Zhai|ArXiv.org|Nov 27, 2006

Navier-Stokes equation solutions参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文通过证明若压力梯度 ∇p 属于弱 Lebesgue 空间 $ L^{\beta}(0,T;L^{\tau}_{w}(\mathbb{R}^3)) $，且满足 $ \frac{2}{\beta} + \frac{3}{\tau} < 3 $，或在等式成立时足够小，则 3D 不可压缩 Navier-Stokes 方程的 Leray-Hopf 弱解在 $[0,T]$ 上光滑。该结果将 Zhou 的准则从强 Lebesgue 空间推广至弱 Lebesgue 空间，利用 Lorentz 空间估计与 Gronwall 型论证控制速度的 $ L^4 $-范数。

ABSTRACT

In this paper we establish a Serrin type regularity criterion on the gradient of pressure in weak spaces for the Leray-Hopf weak solutions of the Navier-Stokes equations in R3.

研究动机与目标

• 将 3D Navier-Stokes 方程的 Serrin 型正则性准则从强 Lebesgue 空间推广至弱 Lebesgue 空间。
• 在弱 $ L^\gamma $ 空间中建立 $ \nabla p $ 的充分条件，以保证 Leray-Hopf 弱解的全局正则性。
• 将 Zhou 于 2004 年提出的涉及 $ \nabla p \in L^\alpha(0,T;L^\gamma) $ 的正则性准则推广至弱空间设定 $ L^\alpha(0,T;L^\gamma_w) $。
• 通过 Lorentz 空间技术与 $ L^4 $-范数的先验估计，提供一种改进的正则性条件。

提出的方法

• 利用能量型不等式与 Lorentz 空间中的 Hölder 不等式，推导速度场的先验 $ L^4 $-范数估计。
• 应用 Calderón–Zygmund 不等式，将 $ \|\nabla p\|_{L^q} $ 控制在 $ \| |u||\nabla u| \|_{L^q} $ 范围内，从而将压力梯度与速度及其梯度联系起来。
• 利用弱型 Lorentz 空间范数 $ \|\nabla p\|_{L^{\gamma,\infty}} $，通过插值与弱型 Hölder 不等式控制非线性项 $ \int |\nabla p| |u|^3 \,dx $。
• 应用 Giga–Masuda 局部存在性定理，在 $ L^4 $ 中构造局部光滑解，随后利用先验估计将其延拓至全局。
• 对 $ u $ 的 $ L^4 $-范数应用 Gronwall 不等式，依赖于 $ \nabla p $ 在弱空间中的可积性以防止解的爆破。
• 利用 $ L^p \subset L^{p,\infty} $ 及 $ L^{p,\infty} $ 与 $ L^{p',1} $ 之间的对偶性，处理能量估计中的弱范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 3D Navier-Stokes 方程的 Serrin 型正则性准则能否从强 Lebesgue 空间推广至压力梯度的弱 Lebesgue 空间？
• RQ2 在 $ \nabla p \in L^\alpha(0,T;L^\gamma_w(\mathbb{R}^3)) $ 条件下，何种条件可保证 Leray-Hopf 弱解的全局正则性？
• RQ3 使用 Lorentz 空间 $ L^{\gamma,\infty} $ 如何改进或推广涉及 $ \nabla p $ 的现有正则性准则？
• RQ4 当 $ \nabla p $ 属于弱 $ L^\gamma $ 空间时，临界情形 $ \frac{2}{\alpha} + \frac{3}{\gamma} = 3 $ 是否仍具有正则化作用？
• RQ5 仅靠 $ \|\nabla p\|_{L^{2/3}(0,T;L^\infty_w)} $ 的小性条件是否足以保证正则性？

主要发现

• 若 $ \nabla p \in L^\alpha(0,T;L^\gamma_w(\mathbb{R}^3)) $ 且满足 $ \frac{2}{\alpha} + \frac{3}{\gamma} < 3 $，$ \frac{2}{3} < \alpha < \infty $，$ 1 < \gamma < \infty $，则解 $ u $ 在 $[0,T]$ 上光滑。
• 当 $ \frac{2}{\alpha} + \frac{3}{\gamma} = 3 $ 时，若 $ \|\nabla p\|_{L^\alpha(0,T;L^\gamma_w)} $ 足够小，则正则性成立。
• 临界情形 $ \alpha = \frac{2}{3}, \gamma = \infty $ 在 $ \|\nabla p\|_{L^{2/3}(0,T;L^\infty_w)} $ 足够小时仍为正则。
• 在 $ \nabla p $ 的弱空间条件下，建立了先验估计 $ \sup_{0 \leq t \leq T} \|u(\cdot,t)\|_{L^4}^4 \leq C(T) \|u_0\|_{L^4}^4 $，该估计可防止解的爆破。
• 该结果将 Zhou 于 2004 年的准则从 $ L^\gamma $ 推广至 $ L^\gamma_w $ 空间，扩大了正则性所容许的压力梯度类。
• 证明依赖于能量估计、Lorentz 空间插值与 Gronwall 不等式的结合，以控制速度的 $ L^4 $-范数，从而确保光滑性。