[论文解读] Regularity for convex viscosity solutions of special Lagrangian equation

Jingyi Chen, Ravi Shankar+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文证明了特殊拉普拉斯方程的凸粘性解在其定义域内部是实解析的。通过旋转坐标系将Hessian特征值限制在$[-1,1]$范围内，作者应用最大特征值的次调和性及强极大值原理，证明了严格的Hessian有界性，进而得到解析性以及依赖于解振幅的有效Hessian估计。

ABSTRACT

We establish interior regularity for convex viscosity solutions of the special Lagrangian equation. Our result states that all such solutions are real analytic in the interior of the domain.

研究动机与目标

• 建立特殊拉普拉斯方程$\sum \arctan \lambda_i - \Theta = 0$的凸粘性解的内部正则性。
• 证明此类解在内部是实解析的，从而解决特殊拉普拉斯几何中长期存在的正则性问题。
• 推导出仅依赖于解的振幅与维数的有效Hessian有界性估计。
• 通过紧致性与正则性方法，将光滑解在一般凸区域之间存在性结果推广至第二类边界值问题。

提出的方法

• 通过坐标旋转将解的Hessian特征值从$[0,\infty)$映射至$[-1,1]$，以简化几何结构。
• 在旋转后的图上利用诱导度量$\bar{g} = I + D^2\bar{u} D^2\bar{u}$，分析$b_m = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \ln \sqrt{1 + \bar{\lambda}_i^2}$的次调和性。
• 在最大特征值$\bar{\lambda}_{\max} = 1$的点附近，利用[WdY, p.487]中的曲率公式中非负系数排列，证明$\Delta_{\bar{g}} b_m \geq 0$。
• 应用强极大值原理，得出$\bar{\lambda}_{\max} \equiv 1$在定义域上成立，除非严格不等式成立，从而导出矛盾。
• 使用二次障碍函数在任意内点处否定$D^2\bar{u} = I$，从而证明$D^2\bar{u} < I$严格成立。
• 借助经典椭圆理论及[CWY]与[WdY2]中的先验估计，最终得出解析性与有效Hessian有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 凸粘性解$\sum \arctan \lambda_i = \Theta$的特殊拉普拉斯方程是否必然在内部光滑或实解析？
• RQ2 此类解的正则性是否可在不假设严格凸性或$C^{1,1}$正则性的前提下建立？
• RQ3 凸粘性解的Hessian是否满足仅依赖于解振幅的有效有界性？
• RQ4 能否通过粘性解与紧致性方法，在一般凸区域之间求解特殊拉普拉斯方程的第二类边界值问题？

主要发现

• 所有特殊拉普拉斯方程的凸粘性解在其定义域内部均为实解析函数。
• 建立了有效Hessian有界性：$|D^2u(0)| \leq C(n) \exp\left[C(n) \operatorname{osc}_{B_1(0)} u\right]^{2n-2}$，其中$C(n)$为维数常数。
• 解$u$在$B_1(0)$内满足$D^2u < \infty$，意味着其光滑且解析。
• 该结果表明，每个整个凸粘性解均为二次函数。
• 通过逼近与正则性方法，建立了在一般凸区域之间第二类边界值问题的内部光滑解的存在性。
• 该方法消除了在拉格朗日平均曲率流长时间存在性中对先验$C^{1,1}$正则性的依赖，如[CCY]所示。