[论文解读] Regularity in $L_p$ Sobolev spaces of solutions to fractional heat equations

Gerd Grubb|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文在各向异性的 $L_p$ Sobolev 空间中为涉及非局部算子（如 $(-Δ)^a$ 或一般阶数 $d>0$ 的伪微分算子）的分数阶热方程解建立了精确的正则性估计。通过在 $Δ^{n+1}$ 上提出一种新颖的符号演算，证明了若右端项 $f$ 属于 $H^{(s,s/d)}_{p,\text{loc}}(\Omega\times I)$，则解 $u$ 在 $H^{(s+d,s/d+1)}_{p,\text{loc}}(\Omega\times I)$ 中获得正则性，且在 Besov 空间和 Hölder 空间中也得到类似结果。

ABSTRACT

This work contributes in two areas, with sharp results, to the current investigation of regularity of solutions of heat equations (*) $Pu+\\partial_tu=f$ on $\\Omega\ imes I $, where $P$ is a nonlocal operator, and $\\Omega \\subset R^n$, $I\\subset R$. 1) For $P$ a strongly elliptic pseudodifferential operator ($\\psi $do) on $R^n$ of order $d\\in R_+$, a symbol calculus on $R^{n+1}$ is introduced, that allows showing optimal regularity of solutions in the scale of anisotropic Bessel-potential spaces $H^{(s,s/d)}$, globally over $R^n\ imes R$, and locally over $\\Omega\ imes I$, for $s\\in R$, $1<p<\\infty $. Similar results hold in anisotropic Besov spaces $B^{(s,s/d)}$. 2) Let $\\Omega $ be smooth bounded, and let $P$ equal $(-\\Delta)^a$ ($0<a<1$), or its generalizations to singular integral operators with regular kernels, that are infinitesimal generators of stable L\\'evy processes. With the Dirichlet condition $u=0$ on $R^n\\setminus\\Omega$, the initial condition $u|_{t=0}=0$, and $f\\in L_p(\\Omega \ imes I)$, (*) has a unique solution $u\\in L_p(I, H_p^{a(2a)}(\\bar\\Omega))$ with $\\partial_tu\\in L_p(\\Omega \ imes I)$. Here $H_p^{a(2a)}(\\bar\\Omega)$ equals $\\dot H_p^{2a}(\\bar\\Omega)$ if $a<1/p$, and is contained in $\\dot H_p^{2a-\\varepsilon}(\\bar\\Omega)$ if $a=1/p$, but contains nontrivial elements from $ d^a \\bar H_p^{a}(\\Omega)$ if $a>1/p$ (where $d(x)= \\operatorname{dist}(x,\\partial\\Omega)$). The interior regularity of $u$ is lifted when $f$ is more smooth.

研究动机与目标

• 在各向异性的 $L_p$ Sobolev 空间中为含非局部算子的分数阶热方程解建立最优正则性估计。
• 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上为任意正则阶数 $d$ 的强椭圆伪微分算子发展一种新的符号演算。
• 将正则性结果从 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上的全局情形推广至任意开子集 $\Sigma\subset\mathbb{R}^{n+1}$ 上的局部情形。
• 分析在有界区域上，非局部热方程 $Pu + \partial_t u = f$ 在 Dirichlet 条件与初始条件下的解的行为。
• 刻画 $L_p$ 基础 Sobolev 空间中的精确正则性提升，尤其在 $a > 1/p$ 或 $a = 1/p$ 时，包括精确的嵌入与迹性质。

提出的方法

• 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上为阶数 $d>0$ 的伪微分算子 $P$ 引入系统化的符号演算，将时间导数 $\partial_t$ 视为完整算子 $P + \partial_t$ 的一部分。
• 应用各向异性的 Bessel-势空间与 Besov 空间 $H^{(s,s/d)}_p$ 和 $B^{(s,s/d)}_p$，以捕捉空间与时间变量之间的不同尺度。
• 利用傅里叶乘子理论与 Lizorkin 准则，证明算子 $P + \partial_t$ 在各向异性的 Sobolev 空间之间的有界性与正则性。
• 应用限制与延拓技术，将 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上的结果局部化至开子集 $\Omega \times I$。
• 通过 Dirichlet 条件 $\operatorname{supp} u \subset \overline{\Omega}$ 与初始条件 $u|_{t=0} = 0$，推导出时间加权 Sobolev 空间中的全局 $L_p$-正则性。
• 通过与各向同性空间的比较及插值技术，推导出嵌入与迹结果，尤其关注 Hölder 与局部正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于分数阶热方程 $Pu + \partial_t u = f$，其中非局部算子 $P$ 的阶数 $d>0$，解在 $L_p$ Sobolev 空间中的最优正则性提升为何？
• RQ2 解 $u$ 的正则性如何依赖于右端项 $f$ 在各向异性的 $L_p$-Sobolev 空间中的光滑性？
• RQ3 当 $P = (-\Delta)^a$ 且 $f \in L_p(\Omega \times I)$ 时，$u$ 在 $L_p(I, H_p^{a(2a)}(\overline{\Omega}))$ 中的精确正则性为何，尤其在 $a > 1/p$ 时？
• RQ4 解 $u$ 的局部正则性特征如何反映 $f$ 在各向异性的 Sobolev 刻度中的光滑性？
• RQ5 在各向异性的 Hölder 与 Sobolev 空间中，解的精确嵌入与迹性质为何，尤其在 $a = 1/p$ 或 $a > 1/p$ 时？

主要发现

• 对于 $f \in H^{(s,s/d)}_{p,\text{loc}}(\Omega \times I)$，解 $u$ 满足 $u \in H^{(s+d,s/d+1)}_{p,\text{loc}}(\Omega \times I)$，在各向异性的 $L_p$ Sobolev 空间中建立了精确的正则性提升。
• 该结果在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上全局成立，且在任意开子集 $\Sigma \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 上局部成立，正则性提升相同。
• 在 Besov 空间 $B^{(s,s/d)}_p$ 与各向异性的 Hölder 空间 $C^{(s,s/d)}$ 中也建立了类似的正则性结果。
• 当 $P = (-\Delta)^a$ 在光滑有界区域 $\Omega$ 上，且 $f \in L_p(\Omega \times I)$ 时，解满足 $u \in L_p(I, H_p^{a(2a)}(\overline{\Omega}))$ 且 $\partial_t u \in L_p(\Omega \times I)$。
• 当 $a < 1/p$ 时，$H_p^{a(2a)}(\overline{\Omega}) = \dot{H}_p^{2a}(\overline{\Omega})$；当 $a = 1/p$ 时，其包含于 $\dot{H}_p^{2a - \varepsilon}(\overline{\Omega})$；当 $a > 1/p$ 时，其包含来自 $d^a \overline{H}_p^a(\Omega)$ 的非平凡元素。
• 当 $f$ 更光滑时，$u$ 的正则性得到提升，其提升程度取决于 $f$ 在各向异性的尺度中的光滑性。