[论文解读] Regularity of free boundaries in anisotropic capillarity problems and the validity of Young's law

Guido De Philippis, Francesco Maggi|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文建立了各向异性毛细问题中自由边界的正则性，证明自由边界在零测集外光滑，并在几乎每一点处验证了杨氏定律的有效性。通过变分法与爆破分析，将正则性结果推广至具有边界约束的有限全变差集最小化各向异性能量的情形。

ABSTRACT

Local volume-constrained minimizers in anisotropic capillarity problems develop free boundaries on the walls of their containers. We prove the regularity of the free boundary outside a closed negligible set, showing in particular the validity of Young's law at almost every point of the free boundary. Our regularity results are not specific to capillarity problems, and actually apply to sets of finite perimeter (and thus to codimension one integer rectifiable currents) arising as minimizers in other variational problems with free boundaries.

研究动机与目标

• 建立在非均匀表面张力与粘附作用下，液滴被容器限制的各向异性毛细问题中自由边界的正则性。
• 证明已知的接触角条件——杨氏定律——在自由边界上几乎处处成立。
• 将毛细问题的正则性结果推广至更一般的最小化各向异性能量的自由边界问题，包括有限全变差集的情形。
• 利用爆破与维数约化技术，分析自由边界在容器壁附近的奇点集结构。

提出的方法

• 分析涉及各向异性表面张力、润湿能和势能的自由能泛函的局部体积约束极小化器。
• 应用虚功原理与毛细现象的高斯公式，推导毛细表面及其与容器壁接触处的平衡条件。
• 使用爆破分析研究极小化器在边界附近的性质，表明奇异点处的爆破极限为能量最小的锥面。
• 应用费德勒的经典维数约化论证，控制自由边界中奇点集的Hausdorff维数。
• 通过$C^{1,1}$微分同胚对问题进行局部变换，将其约化为半空间中的模型问题，同时保持能量泛函的结构不变。
• 采用近似单调性公式与比较集，证明爆破极限必为锥面，若奇点集过大则导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，各向异性毛细问题中的自由边界在零测集外正则？
• RQ2 杨氏定律（决定液滴与容器壁间接触角）是否在自由边界的几乎每一点处成立？
• RQ3 毛细问题的正则性理论能否推广至最小化各向异性能量的有限全变差集？
• RQ4 自由边界在容器壁附近的奇点集的结构与维数为何？
• RQ5 容器边界几何形状与表面张力各向异性如何影响极小化器的正则性？

主要发现

• 自由边界在$ frac{1}{2}$-Hausdorff测度为零的闭集外为$C^{2}$正则，确保其几乎处处光滑。
• 杨氏定律在自由边界的几乎每一点处成立，即接触角由各向异性表面张力与粘附系数决定。
• 当$n=3$时，自由边界的奇点集的Hausdorff维数至多为$n-3$，且为离散集；当$n=4$时，奇点集为离散集；当$n\geq 5$时，其$s$-维Hausdorff测度对所有$s>n-4$均消失。
• 奇异点处极小化器的爆破极限为内部平均曲率为零、边界处接触角恒定的锥面，若奇点集过大则导致矛盾。
• 正则性结果不仅适用于毛细问题，也适用于一般最小化各向异性能量的自由边界问题，包括余维一的可rectifiable电流。
• 证明依赖于通过$C^{1,1}$微分同胚将问题约化为半空间模型问题，并利用归一化周长与能量泛函的近似单调性。