[论文解读] Regularity results for nonlocal equations by approximation

Luis Caffarelli, Luís Silvestre|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文通过微扰和紧致性论证，建立了非局部椭圆方程在非平移不变核下的 $C^{1,\beta}$ 和 $C^{2,\beta}$ 正则性估计。通过将一般非局部算子逼近为已知正则性的平移不变算子，作者在核系数具有温和连续性和椭圆性条件下，推导出解的 Hölder 估计，将先前结果推广至随机博弈和控制理论中出现的更广泛类别的积分微分方程。

ABSTRACT

In this paper we prove a nonlocal version of the Cordes-Niremberg estimates. We use it to extend our previous regularity results for fully nonlinear integro-differential equations to the variable coefficient case and several other settings where the equation can be thought of as a perturbation of the translation invariant case.

研究动机与目标

• 将非局部方程的 $C^{1,\beta}$ 正则性结果从平移不变情形推广至一般非平移不变算子。
• 发展一种通用的微扰框架，将参考平移不变方程的正则性传递至邻近的非平移不变方程。
• 在核平滑性和椭圆性更强的假设下建立 $C^{2,\beta}$ 正则性，特别是当核接近分数阶拉普拉斯算子时。
• 为随机博弈中出现的纯非局部 Isaacs 型方程提供一个统一的理论框架。
• 利用紧致性和逼近技术，将 Cordes-Nirenberg 型估计推广至非局部情形。

提出的方法

• 提出了一般微扰论证（定理 5.2），指出若一个非局部算子在一致意义下接近一个具有 $C^{1,\beta}$ 解的平移不变算子，则其解也是 $C^{1,\beta}$。
• 该方法依赖于有界区域中解的紧致性，利用适用于非局部算子的 De Giorgi 和 Krylov-Safonov 型紧致性论证。
• 通过与一族线性非局部算子 $\mathcal{L}$ 的比较来定义一致椭圆性，确保正则性在小扰动下保持稳定。
• 关键技术在于在某一点冻结核的 $x$-依赖性，并将所得算子与一个平移不变算子进行比较，利用缩放和收敛性论证。
• 分析中使用极大和极小算子 $\mathrm{M}^{+}_{\mathcal{L}}$ 和 $\mathrm{M}^{-}_{\mathcal{L}}$ 来量化椭圆性，并控制算子之间的差异。
• 对一系列缩放解应用紧致性论证，得到一个极限解，其正则性继承自参考算子，随后被反向传递至原方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种核 $a_{\alpha\beta}(x,y)$ 条件下，非局部 Isaacs 方程 (1.1) 的解 $u$ 属于 $C^{1,\varepsilon}$（$\varepsilon > 0$）？
• RQ2 当核为 $x$-无关且接近分数阶拉普拉斯算子时，能否建立解的 $C^{2,\varepsilon}$ 正则性？
• RQ3 微扰方法如何用于将 $C^{1,\beta}$ 正则性从平移不变推广至非平移不变非局部方程？
• RQ4 核 $a_{\alpha\beta}(x,y)$ 在 $x$ 上的模连续性在决定解的正则性方面起什么作用？
• RQ5 能否将非局部算子的主导部分分离并近似，以推导解的正则性？

主要发现

• 若 $0 < \lambda \leq a_{\alpha\beta} \leq \Lambda$ 且 $|\nabla_y a_{\alpha\beta}| \leq C|y|^{-1}$，且 $a_{\alpha\beta}$ 关于 $x$ 连续且模连续性与 $y$ 无关，则方程 (1.1) 的解在 $\Omega$ 的内部属于 $C^{1,\varepsilon}$（$\varepsilon > 0$），其估计依赖于 $\|u\|_{L^\infty}$。
• 若 $a_{\alpha\beta}$ 关于 $x$ 为常数，且 $\Lambda - \eta \leq 1 \leq \lambda + \eta$（$\eta$ 较小），则方程 (1.1) 的解在 $\Omega$ 的内部属于 $C^{2,\varepsilon}$（$\varepsilon > 0$），同样依赖于 $\|u\|_{L^\infty}$ 的估计。
• 定理 5.2 允许在适当范数下差值较小时，将参考平移不变算子的 $C^{1,\alpha}$ 正则性传递至邻近的非平移不变算子。
• 对于形如 $\mathrm{I}(u,x) = -(-\Delta)^{\sigma/2}u + \text{低阶项}$ 的方程，若低阶核满足 $|a(y)| \leq C$ 且 $|\nabla a(y)| \leq C/|y|$，则 $u \in C^{2,\alpha}(B_{1/2})$，且 $\|u\|_{C^{2,\alpha}(B_{1/2})} \leq C\|u\|_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}$。
• 微扰方法可将一般非局部方程约化为其主导部分（如分数阶拉普拉斯算子），当余项在合适范数下较小时，可实现正则性传递。
• 引理 3.1 的证明使用了极限论证，涉及 $u_\alpha(x) = ((|x|-1)^+)^\alpha$ 及其收敛至 $\log(|x|-1)$ 的情形，表明该函数在边界附近经极大算子作用后变为负值，这对紧致性至关重要。