[论文解读] Reidemeister number of any automorphism of a Gromov hyperbolic group is infinite

Alexander Fel’shtyn|ArXiv.org|Jan 1, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用 15

一句话总结

本文通过几何群论与动力系统方法，证明了任意非初等 Gromov 双曲群的自同态的 Reidemeister 数均为无穷大。通过不动点理论建立了其拓扑对应关系，并提出了双曲群中扭曲共轭类的 Selberg 型迹公式类比，展示了伪 Anosov 曲面自同态中此类共轭类的渐近增长行为。

ABSTRACT

We show that the number of twisted conjugacy classes is infinite for any automorphism of non-elementary, Gromov hyperbolic group . An analog of Selberg theory for twisted conjugacy classes is proposed.

研究动机与目标

• 证明任意非初等 Gromov 双曲群的自同态的 Reidemeister 数为无穷大。
• 通过紧致多面体上自映射的不动点类，建立 Reidemeister 数的拓扑类比。
• 为双曲群中的扭曲共轭类提出 Selberg 理论的类比。
• 推导伪 Anosov 曲面自同态中范数有界的扭曲共轭类数量的渐近展开式。

提出的方法

• 使用映射柱构造，将群中的扭曲共轭类与半直积群中的共轭类联系起来。
• 应用 Delzant 引理，证明在 Gromov 双曲群模其阿贝尔正规子群的陪集包含无穷多个共轭类。
• 利用负曲率流形的几何性质与 Selberg 迹公式，分析原射曲率闭测地线的渐近增长。
• 在伪 Anosov 映射的映射柱中，建立扭曲共轭类与原射曲率闭测地线之间的一一对应关系。
• 利用长度 ≤ x 的测地线数量的渐近展开式，推导扭曲共轭类的增长率。
• 通过映射柱中相关原射曲率闭测地线的长度，定义扭曲共轭类上的范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意非初等 Gromov 双曲群的自同态是否具有无穷 Reidemeister 数？
• RQ2 能否为双曲群中的扭曲共轭类发展类 Selberg 理论？
• RQ3 伪 Anosov 曲面自同态中范数有界的扭曲共轭类数量的渐近增长率是多少？
• RQ4 在基本群为双曲的紧致多面体上，同胚映射的不动点类数量是否具有无穷 Reidemeister 数？

主要发现

• 任意非初等 Gromov 双曲群的自同态的 Reidemeister 数为无穷大。
• 对于伪 Anosov 曲面自同态，范数至多为 x 的扭曲共轭类数量渐近增长为 e^{2x}/x^{3/2}。
• 渐近展开式中包含一个依赖于双曲 3-流形 T_f 体积的正首项常数 C₀。
• 当 n 为奇数时，展开式中的常数 C_n 恒为零，表明系数具有特定的奇偶性结构。
• 范数有界的不动点类与提升类的数量，其增长速率与扭曲共轭类数量相同。
• 该结果在伪 Anosov 自同态下，为 Delzant 引理在曲面群情形提供了分析性证明。