[论文解读] Reidemeister torsion, hyperbolic three-manifolds, and character varieties

Joan Porti|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 89被引用 11

一句话总结

本文综述了有限体积双曲三维流形中的Reidemeister torsion，将扭量视为拓扑不变量以及SL₂(ℂ)-特征簇上的函数。研究证明，扭量在特征簇的特殊分支上是有理函数，对纽结外部（贝蒂数为1）情形是正则的，并通过Weil的上同调识别方法将理论推广至高维表示和伴随表示，该方法将切空间与一阶上同调群相联系。

ABSTRACT

This is a survey on Reidemeister torsion for hyperbolic three-manifolds of finite volume. Torsions are viewed as topological invariants and also as functions on the variety of representations in $\operatorname{ SL}_2(\mathbb C)$. In both cases, the torsions may also be computed after composing with finite dimensional representations of $\operatorname{ SL}_2(\mathbb C)$. In addition the paper deals with the torsion of the adjoint representation as a function on the variety of $\operatorname{ PSL}_{n+1}(\mathbb C)$-characters, using that the first cohomology group with coefficients twisted by the adjoint is the tangent space to the variety of characters.

研究动机与目标

• 研究有限体积双曲3-流形中Reidemeister扭量作为拓扑不变量的性质。
• 分析扭量作为SL₂(ℂ)-特征簇上函数的性质，特别是包含单值表示的特殊分支上的行为。
• 将扭量不变量推广至SL₂(ℂ)的高维表示和伴随表示。
• 通过Weil定理将扭量与形变理论联系起来，该定理将特征簇的切空间与系数取自伴随表示的一阶上同调群相等同。
• 研究Dehn填充下扭量的行为及其对体积和上同调结构的影响。

提出的方法

• 使用带有限维SL₂(ℂ)表示扭曲的链复形的组合扭量。
• 应用Mayer-Vietoris正合列和庞加莱对偶性，分析Dehn填充和拓扑分解下的扭量不变量。
• 利用提升至SL₂(ℂ)的单值表示（由Raghunathan定理知其为正合复形）定义具有自旋结构的拓扑不变量。
• 运用Weil定理将特征簇的切空间与系数取自伴随表示的一阶上同调群相等同。
• 应用上半连续性原理分析上同调维数，证明边界环面H⁰上同调消失的通用性结果。
• 通过轨道Dehn填充构造显式例子，实现通用表示并验证上同调条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 Reidemeister扭量在双曲3-流形的SL₂(ℂ)-特征簇上作为函数的行为如何？
• RQ2 在特征簇的特殊分支上，扭量函数在何种条件下是正则的（即无极点）？
• RQ3 高维表示下的扭量与流形体积之间存在何种关系？
• RQ4 Dehn填充下扭量如何变换？这对体积有界但扭量发散的流形序列有何启示？
• RQ5 伴随表示的扭量如何通过特征簇的上同调几何解释？

主要发现

• 对于纽结外部（第一贝蒂数为1），SL₂(ℂ)-特征簇的特殊分支上扭量函数是正则的，无极点。
• Dehn填充可产生一系列闭合双曲3-流形，其体积有界但扭量趋于无穷，如推论3.28所示。
• 伴随表示的扭量与体积猜想相关，并出现在量子不变量中，论文中简要提及此点。
• 在特殊分支中，对通用特征，当k₁ ≠ k₂且k₁、k₂中至少一个为奇数时，H⁰(T²; ρ^{k₁,k₂})消失。
• 当k₁与k₂均为偶数且k₁ ≠ k₂时，满足H⁰(T²; ρ^{k₁,k₂}) = 1的特征集合构成特征曲线上的非空Zariski开子集。
• 形变空间中周界曲线的变化由扭量导出的公式控制，在特定条件下可定义体积形式。