[论文解读] Relational Semigroups and Object-Free Categories

James Cranch, Simon Doherty+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2020

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文通过将部分运算建模为三元关系，建立了关系幺半群与无对象范畴之间的形式联系，表明具有多个单位的相干部分幺半群对应于无对象范畴。本文引入了部分代数的关联框架，证明了各类代数类之间的严格分离（例如，部分幺半群严格包含于关系幺半群中），并展示了通过添加零元素可实现整体化，包括将 ℓr-范畴整体化为范畴幺半群。

ABSTRACT

This note relates axioms for partial semigroups and monoids with those for small object-free categories, either with multiple monoidal units or with source and target maps. We discuss the adjunction of a zero element to both kinds of category and provide examples that separate the algebras considered.

研究动机与目标

• 通过关系代数框架阐明部分半群/幺半群与无对象范畴之间的关系。
• 证明无对象范畴恰好对应于具有多个单位的相干部分幺半群。
• 研究向部分代数中添加零元素的影响，从而产生整体化结构（如范畴幺半群）。
• 通过构造性例子建立各类部分代数类（如部分幺半群与关系幺半群）之间的严格分离。
• 利用有界态射与函子，建立关系结构与范畴模型之间的对偶式对应关系。

提出的方法

• 将部分运算建模为三元关系 $ R \subseteq X \times X \times X $，通过关系方式定义其功能性和结合律。
• 将一致性定义为 $ R^{v}_{xy} \land D^{y}_{z} \Rightarrow D^{v}_{z} $，以确保与范畴复合中源-目标匹配的一致性。
• 引入关系单位：$ e \in X $ 是左/右单位，若 $ R^{x}_{ex} \Rightarrow x = e $；若满足左或右单位条件，则称为单位。
• 向关系结构 $ (X, R) $ 添加一个零元素 $ 0 $，将 $ R $ 扩展为 $ R_0 $，使得 $ (R_0)^0_{xy} $ 当且仅当 $ \neg D^x_y $ 成立，从而使复合运算变为整体的。
• 使用三元组有界态射 $ (f, g, h) $ 在三元关系之间建立，以建模无对象范畴之间的函子。
• 通过幂集代数实现整体化：$ (\mathcal{P}X, \cdot, E) $，其中 $ \{x\} \cdot \{y\} = \{x \cdot y\} $，并将 $ \eta: X \to \mathcal{P}X $ 识别为嵌入映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 关系幺半群与幺半群如何与具有多个单位的无对象范畴相关联？
• RQ2 无对象范畴在部分幺半群与一致性条件下的精确代数刻画是什么？
• RQ3 添加零元素如何改变关系与部分代数结构？由此产生哪些整体化结构？
• RQ4 能否在部分代数类之间建立严格分离（例如，部分幺半群与关系幺半群）？
• RQ5 $ \ell $ 和 $ r $ 函数在将 $ \ell r $-范畴整体化为范畴幺半群的过程中起什么作用？

主要发现

• 部分幺半群类严格包含于关系幺半群类中，如 $ \Sigma^* $ 上的洗牌运算所示：该运算构成一个整体关系幺半群，但因复合不唯一而无法构成部分幺半群。
• 关系幺半群可能具有多个单位，如二元集 $ \{e, e'\} $ 上满足 $ R^e_{ee} $ 与 $ R^{e'}_{e'e'} $ 的结构所示，表明单位不必唯一。
• 相干关系幺半群类严格包含于关系幺半群类中，如结构 $ R^e_{ee}, R^a_{ea}, R^a_{ae} $ 所示：$ D^e_a $ 成立但 $ D^a_a $ 不成立，违反了相干性条件。
• 无对象范畴严格包含于部分幺半群中，通过两个反例证明：一个三元部分幺半群违反相干性，另一例为具有重叠定义域的部分自映射。
• 向关系结构添加零元素后，单位变为弱单位，如例6.2扩展零元素后所示：$ e $ 与 $ e' $ 不再满足单位公理，但仍为弱单位。
• 范畴幺半群（由Schweizer和Sklar定义）等价于带零元素的 $ \ell r $-范畴，且每个 $ \ell r $-范畴均可通过添加零元素嵌入到范畴幺半群中。