[论文解读] Relational symplectic groupoids and Poisson sigma models with boundary

Iván Contreras|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 13

一句话总结

本文引入关系型辛群胚作为统一框架，以整合可积与不可积的泊松流形，通过边界条件下的泊松σ模型的约化相空间，推广了Cattaneo-Felder关于辛群胚的构造。关键贡献在于使用弱辛流形中的典范关系，在范畴论框架下进行预约化形式化，自然编码了泊松结构，并为可积性与量子化提供了新视角，尤其在膜与无穷维几何的背景下。

ABSTRACT

We introduce the notion of relational symplectic groupoid as a way to integrate Poisson manifolds in general, following the construction through the Poisson sigma model (PSM) given by Cattaneo and Felder. We extend such construction to the infinite dimensional setting, where we are able to describe the relational symplectic groupoid in terms of immersed Lagrangian Bannach submanifolds. This corresponds to a groupoid object in the "extended symplectic category" and it can be related to the ususal version of symplectic groupoids via reduction. We prove the existence of such an object for any Poisson manifold and the uniqueness of a compatible Poisson structure on the base, for a special type of relational symplectic groupoids. We develop the notion of equivalence, that allows us to compare finite and infinite dimensional examples. We discuss some other extensions to different categories, where the relational construction still make sense, in an effort to understand better geometric quantization of symplectic manifolds in this new perspective.

研究动机与目标

• 使用新几何框架统一可积与不可积泊松流形的积分。
• 从边界条件下的泊松σ模型的约化相空间推广Cattaneo-Felder关于辛群胚的构造。
• 将泊松σ模型相空间的预约化形式表述为关系型辛群胚。
• 在弱辛流形中利用典范关系建立范畴框架，以定义关系型辛群胚。
• 将此构造与数学物理中量子化和膜结构联系起来。

提出的方法

• 将关系型辛群胚定义为扩展辛范畴中的特殊对象，其公理由弱辛流形中浸入的拉格朗日子流形（典范关系）表达。
• 在约化前构造边界条件下的泊松σ模型的未约化相空间，作为关系型辛群胚。
• 使用典范关系（如丛映射的图像）编码辛结构与泊松结构，确保与Courant括号和Dirac结构相容。
• 在关系型辛群胚上引入等价关系，使其在可积情形与标准辛群胚相关联。
• 在无穷维情形下，以关系型群胚结构表征Crainic-Fernandes可积性条件。
• 将该框架应用于泊松流形路径空间的余切丛，表明其在主要例子中实现了关系型辛群胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Cattaneo-Felder构造的推广，系统地描述不可积泊松流形的积分？
• RQ2 边界条件下的泊松σ模型未约化相空间的范畴论与几何结构是什么？其如何编码泊松结构？
• RQ3 关系型辛群胚在可积情形下如何与标准辛群胚关联？等价关系在此上下文中的作用是什么？
• RQ4 关系型辛群胚框架如何促进泊松σ模型中量子化与膜的研究？
• RQ5 Crainic-Fernandes可积性条件在关系型群胚结构下的精确表征是什么？

主要发现

• 关系型辛群胚作为边界条件下的泊松σ模型的预约化相空间被构造，为可积与不可积泊松流形提供了统一框架。
• 通过典范关系与Dirac结构，关系型群胚上的辛结构自然与底流形上的泊松结构相容。
• 明确构造了关系型辛群胚的有限维例子，证明了该框架在无穷维情形之外的可行性。
• 关系型辛群胚上的等价关系允许在可积情形下恢复标准辛群胚，与现有理论保持一致。
• 在主要例子——泊松流形路径空间的余切丛中，关系型辛群胚实现了无穷维相空间，且Crainic-Fernandes可积性条件在此框架内得到完整表征。
• 该框架可自然推广至其他幺半范畴的自伴范畴，暗示其在几何量子化与拓扑场论中的更广泛应用。