[论文解读] Relations between the convexity of a set and the differentiability of its support function

Constantin Zălinescu|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文建立了支撑函数可微性与集合凸性之间的精确联系，尤其针对无界集。证明了支撑函数在其定义域内部可微意味着集合严格凸，重新审视并修正了微观经济学中的基础结果，特别是Shephard引理以及生产理论中成本函数的可微性。

ABSTRACT

It is known that, in finite dimensions, the support function of a compact convex set with non empty interior is differentiable excepting the origin if and only if the set is strictly convex. In this paper we realize a thorough study of the relations between the differentiability of the support function on the interior of its domain and the convexity of the set, mainly for unbounded sets. Then we revisit some results related to the differentiability of the cost function associated to a production function.

研究动机与目标

• 阐明支撑函数可微性与其基底集合凸性之间的关系，尤其针对无界集。
• 利用凸分析与支撑函数，重新审视并修正微观经济学中的经典结果，特别是Shephard引理。
• 识别支撑函数可微性蕴含集合凸性的必要与充分条件。
• 分析与满足条件(H)的集合A相关的函数$ F_A $的作用，将其性质与A的几何特性相联系。
• 通过凸对偶与支撑函数理论，提供Shephard引理的新且严格的证明。

提出的方法

• 以支撑函数$ \sigma_A(x^*) = \sup_{u \in A} \langle x^*, u \rangle $为核心分析工具，研究凸性与可微性。
• 应用凸分析工具：方向锥、共轭函数、次微分以及渐近函数$ f_\infty $。
• 引入与满足条件(H)的集合A相关的函数$ F_A $，分析其拟凹性及其与A几何性质的关系。
• 应用支撑函数$ \sigma_A $在$ \operatorname{int}(\operatorname{dom} \sigma_A) $上可微性与集合A严格凸性之间的等价性，即使在无界集情况下也成立。
• 将成本函数$ g(x) = \inf \{ \langle x, a \rangle \mid a \in A \} $重新解释为$ -\sigma_A(-x) $，直接将其与支撑函数联系起来。
• 利用$ \sigma_A $与共轭函数$ f^* $之间的对偶性，并应用文献[16]中关于可微性与凸性的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于集合$ A \subset \mathbb{R}^p $，其支撑函数$ \sigma_A $在其定义域内部可微？
• RQ2 支撑函数$ \sigma_A $在$ \operatorname{int}(\operatorname{dom} \sigma_A) $上可微是否意味着$ A $为凸集，即使$ A $为无界集？
• RQ3 生产理论中的标准假设——如生产函数的严格拟凹性或拟凹性——如何与关联成本函数的可微性相关联？
• RQ4 $ F_A $在表征集合$ A $的凸性与可微性性质方面起什么作用？
• RQ5 Shephard引理中成本函数可微性的经典充分条件是否也必要？

主要发现

• 支撑函数$ \sigma_A $在$ \operatorname{int}(\operatorname{dom} \sigma_A) $上可微当且仅当集合$ A $严格凸，即使$ A $为无界集。
• 支撑函数$ \sigma_A $在$ \operatorname{int}(\operatorname{dom} \sigma_A) $上可微意味着$ A $为凸集，且该结论对无界集也成立。
• 与满足条件(H)的集合$ A $相关的函数$ F_A $是拟凹且连续的，但即使$ \sigma_A $可微，也未必是严格拟凹的。
• 例5表明，当生产函数$ F_A $非严格拟凹时，成本函数仍可在$ -\mathbb{R}_{++}^p $上可微，这与某些经典结果相矛盾。
• 本文修正了[6, 定理2]与[11, 等价定理]中‘若’部分的结论，表明成本函数的可微性并不蕴含生产函数的严格拟凹性。
• 通过凸对偶，利用次微分与共轭函数框架，建立了Shephard引理的新证明。