[论文解读] Relative Algebraic Differential Characters

Spencer Bloch, Hélène Esnault|ArXiv.org|Dec 2, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文在特征零下为光滑态射引入了相对微分特征的上同调理论，提供了一个规范框架，用于解释迭代Atiyah类的迹的部分消失现象。它在曲线族中构造了第二陈类 $f_*c_2(E)$ 的推前的典范联络，与Beilinson的解析构造相吻合，并与Beilinson的迹复形相关联。

ABSTRACT

Let $f: X o S$ be a smooth morphism in characteristic 0, and let $(E, abla_{X/S})$ be a relative regular connection. We define a cohomology of relative differential characters on $X$ which receives classes of $(E, abla_{X/S})$. It says in particular that the partial vanishing of the trace of the iterated Atiyah classs can be made canonical. While applied to a family of curves and $c_2$, the construction yields a connection of $f_*c_2(E)$. This one has been constructed analytically by A. Beilinson. We also relate our construction to the trace complex of Beilinson of Schechtman.

研究动机与目标

• 为特征零下的光滑态射 $f: X o S$ 定义相对微分特征的上同调理论。
• 为迭代Atiyah类的迹的部分消失现象提供一个典范解释。
• 为曲线上相对正则联络 $(E, abla_{X/S})$ 的推前 $f_*c_2(E)$ 构造一个典范联络。
• 将该构造与Beilinson的迹复形及Schechtman的工作联系起来。
• 建立Beilinson对 $f_*c_2(E)$ 上联络的解析构造的代数几何对应物。

提出的方法

• 在 $X$ 上定义一个相对微分特征的上同调理论，用于分类相对正则联络 $(E, abla_{X/S})$ 的类。
• 利用Atiyah类及其迭代来分析相对情形下的曲率与迹数据。
• 通过相对微分特征上同调构造 $f_*c_2(E)$ 上的典范联络。
• 通过比较代数与解析结构，建立与Beilinson的解析构造的相容性。
• 使用代数几何工具，将该构造与Beilinson及Schechtman的迹复形联系起来。
• 在特征零下工作，以确保光滑性以及微分算子与联络的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在相对代数设定下使迭代Atiyah类的迹的部分消失现象变得典范化？
• RQ2 能否为具有相对正则联络的曲线族的推前 $f_*c_2(E)$ 构造一个典范联络？
• RQ3 相对微分特征上同调与Beilinson的迹复形之间有何关系？
• RQ4 $f_*c_2(E)$ 上的代数构造与Beilinson的解析构造相比如何？
• RQ5 相对正则联络 $(E, abla_{X/S})$ 在相对设定下定义特征类的过程中起什么作用？

主要发现

• 本文构造了一个典范的相对微分特征上同调理论，用于分类特征零下光滑态射上相对正则联络 $(E, abla_{X/S})$ 的类。
• 通过相对微分特征上同调，迭代Atiyah类的迹的部分消失现象被典范化。
• 为曲线族构造了 $f_*c_2(E)$ 上的典范联络，与Beilinson的解析构造相吻合。
• 该构造被证明与Beilinson的迹复形及Schechtman的工作相容。
• 相对微分特征上同调为 $f_*c_2(E)$ 上的解析联络提供了代数几何实现。
• 该框架在代数微分特征与相对代数几何中的高阶特征类之间建立了桥梁。