[论文解读] Relative Bogomolov's inequality

Atsushi Moriwaki|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 1

一句话总结

本文在特征零域上光滑代数簇上关于相对维数为1的投影态射，建立了向量丛的相对Bogomolov不等式。若在某点处纤维与丛的限制均为半稳定，则某种陈类组合弱正，从而完全刻画了稳定曲线模空间上的弱正Q-除子。

ABSTRACT

Let f : X --> Y be a projective morphism of smooth algebraic varieties over an algebraically closed field of characteristic zero with dim f = 1. Let E be a vector bundle of rank r on X. In this paper, we would like to show that if X_y is smooth and E_y is semistable for some point y of Y, then f_* (2r c_2(E) - (r-1) c_1(E)^2) is weakly positive at y. We apply this result to obtain the following description of the cone of weakly positive $\QQ$-Cartier divisors on the moduli space of stable curves. Let M_g (resp. M_g^0) be the moduli space of stable (resp. smooth) curves of genus g >= 2. Let h be the Hodge class and d_i's (i = 0,...,[g/2]) the boundary classes. A Q-Cartier divisor x h + y_0 d_0 + ... + y_[g/2] d_[g/2] is weakly positive over M_g^0 if and only if x >= 0, g x + (8g + 4) y_0>= 0, and i(g-i) x + (2g+1) y_i>= 0 for all 1 <= i <= [g/2].

研究动机与目标

• 在特征零域上，为光滑代数簇上的向量丛建立相对Bogomolov不等式。
• 分析在相对维数为1的投影态射下，特定陈类组合的直接像的弱正性。
• 将结果应用于描述稳定曲线模空间上弱正Q- Cartier除子的锥体。

提出的方法

• 使用光滑代数簇之间满足 dim f = 1 的投影态射 f: X → Y。
• 在纤维 X_y 和向量丛 E 在 y 处的限制 E_y 上应用半稳定性条件，以推导出 f_* (2r c_2(E) - (r-1)c_1(E)^2) 在 y 处的弱正性。
• 运用代数几何中相干层的弱正性理论。
• 将几何条件转化为模空间 M_g 上除子类的数值条件。
• 分析 M_g^0 的除子类群中的霍奇类 h 和边界类 d_i。
• 推导出涉及 h 和 d_i 系数的显式不等式，以刻画弱正性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在相对维数为1的态射下，陈类组合 2r c_2(E) - (r-1)c_1(E)^2 的直接像在何种条件下弱正？
• RQ2 纤维与丛限制的半稳定性如何影响特征类的正性？
• RQ3 稳定曲线模空间上弱正Q- Cartier除子的完整数值刻画是什么？
• RQ4 哪些 h 与边界类 d_i 的线性组合在 M_g^0 上弱正？

主要发现

• 若 E_y 半稳定且 X_y 光滑，则 f_* (2r c_2(E) - (r-1)c_1(E)^2) 在 y 处弱正。
• Q- Cartier除子 x h + y_0 d_0 + ... + y_{[g/2]} d_{[g/2]} 在 M_g^0 上弱正，当且仅当 x ≥ 0。
• 边界除子 d_0 的系数必须满足不等式 g x + (8g + 4) y_0 ≥ 0。
• 对每个满足 1 ≤ i ≤ [g/2] 的 i，弱正性的充要条件是不等式 i(g−i)x + (2g+1)y_i ≥ 0。
• M_g^0 上弱正Q- Cartier除子的完整锥体由这三类不等式完全描述。