[论文解读] Relative Brauer groups of genus 1 curves

Mirela Çiperiani, Daniel Krashen|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文开发了计算任意域上椭圆曲线相对布勃开尔群的计算技术，证明了在某些基域上该群可能无限，并显式计算了有理数域上曲线的相对布勃开尔群。文章引入了‘循环型’曲线，其相对布勃开尔群可通过上积与对偶性得到清晰描述，将该结构与周期-指标问题及初等障碍联系起来。

ABSTRACT

In this paper we develop techniques for computing the relative Brauer group of curves, focusing particularly on the case where the genus is 1. We use these techniques to show that the relative Brauer group may be infinite (for certain ground fields) as well as to determine this group explicitly for certain curves defined over the rational numbers. To connect to previous descriptions of relative Brauer groups in the literature, we describe a family of genus 1 curves, which we call "cyclic type" for which the relative Brauer group can be shown to have a particularly nice description. In order to do this, we discuss a number of formulations of the pairing between the points on an elliptic curve and its Weil-Chatêlet group into the Brauer group of the ground field, and draw connections to the period-index problem for genus 1 curves.

研究动机与目标

• 开发适用于任意域上光滑射影椭圆曲线相对布勃开尔群的一般计算技术。
• 研究相对布勃开尔群在非有限生成或非局部域上为有限或无限的条件。
• 引入并表征‘循环型’椭圆曲线，其相对布勃开尔群具有特别易于处理的描述。
• 将相对布勃开尔群与算术几何中的周期-指标问题及初等障碍联系起来。
• 提供算法工具以实现显式计算，并已通过 Macaulay2 包实现。

提出的方法

• 将相对布勃开尔群定义为限制映射 Br(k) → Br(k(X)) 的核，其中 X 是域 k 上的椭圆曲线。
• 利用雅可比簇和自然映射 a_X: Pic(X)(k) → Br(k(X)/k)，将有理点与布勃开尔群元素联系起来。
• 通过上积与对偶性重新表述配对 a_X，尤其在同源与伽罗瓦上同调的背景下。
• 利用椭圆曲线上扭点构造显式例子，定义主齐性空间并计算其相对布勃开尔群。
• 在 Macaulay2 中实现算法，使用 PARI/GP 进行上循环与相对布勃开尔不变量的符号计算。
• 应用 Nishimura 引理，证明在存在光滑有理点时，代数簇的指标在域扩张下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，椭圆曲线在域 k 上的相对布勃开尔群是无限的？
• RQ2 何时椭圆曲线具有‘循环型’结构，使其相对布勃开尔群可被简化描述？
• RQ3 相对布勃开尔群与初等障碍及有理点存在性之间有何关系？
• RQ4 能否对定义在 Q 上的曲线算法化地计算其相对布勃开尔群？
• RQ5 周期-指标问题与相对布勃开尔群结构之间的确切关系为何？

主要发现

• 椭圆曲线的相对布勃开尔群在某些基域上可能无限，如定理 4.12 所示。
• 对于循环型曲线，相对布勃开尔群嵌入一个涉及对偶同源的正合列，推广了 Han 的结果。
• 映射 a_X: Pic(X)(k) → Br(k(X)/k) 被实现为上积配对，提供了上同调解释。
• 对于椭圆曲线 E 的齐性空间 X 满足 X(k) = ∅，其在 k(E) 上的相对布勃开尔群非平凡，即 Br(X_{k(E)}/k(E)) ≠ 0。
• 当 k 为局部域或素域的有限生成扩张时，相对布勃开尔群是有限的，如命题 4.11 所示。
• Macaulay2 包 'Relative Brauer' 成功计算了示例，例如某条定义在 Q 上的曲线其相对布勃开尔群同构于 Z/4 × Z/2。