[论文解读] Relative Cohomology with Respect to a Lefschetz Pencil

Hossein Movasati|ArXiv.org|Dec 19, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 6

一句话总结

本文将Brieskorn关于梅罗omorphic联络与Brieskorn模的局部构造推广至复射影流形上利普希茨束的全局设定。通过在基底奇点处进行爆破，并利用沿例外除子有极点的梅罗形式延拓相对上同调，作者在$\mathbb{P}^1$上构造了梅罗高斯-曼因联络，证明了在无穷远处有极点的全局梅罗截面构成一个秩为$\beta_n$的自由$\mathbb{C}[t]$-模，其中$\beta_n$为正则纤维的贝蒂数。

ABSTRACT

Let $M$ be a complex projective manifold of dimension $n+1$ and $f$ a meromorphic function on $M$ obtained by a generic pencil of hyperplane sections of $M$. The $n$-th cohomology vector bundle of $f_0=f|_{M-\RR}$, where $\RR$ is the set of indeterminacy points of $f$, is defined on the set of regular values of $f_0$ and we have the usual Gauss-Manin connection on it. Following Brieskorn's methods in [bri], we extend the $n$-th cohomology vector bundle of $f_0$ and the associated Gauss-Manin connection to $\pl$ by means of differential forms. The new connection turns out to be meromorphic on the critical values of $f_0$. We prove that the meromorphic global sections of the vector bundle with poles of arbitrary order at $\infty\in\pl$ is isomorphic to the Brieskorn module of $f$ in a natural way, and so the Brieskorn module in this case is a free $\Pf$-module of rank $β_n$, where $\Pf$ is the ring of polynomials in $t$ and $β_n$ is the dimension of $n$-th cohomology group of a regular fiber of $f_0$.

研究动机与目标

• 将复射影流形上利普希茨束的相对上同调向量丛与高斯-曼因联络扩展至整个$\mathbb{P}^1$。
• 利用具有极点的梅罗微分形式，将Brieskorn关于梅罗联络与Brieskorn模的局部构造推广至全局几何设定。
• 证明在无穷远处有极点的扩展上同调丛的全局梅罗截面构成一个秩等于正则纤维的贝蒂数$\beta_n$的自由$\mathbb{C}[t]$-模。
• 在扩展上同调层与全局Brieskorn模之间建立典范同构，从而将奇点理论中的已知结果推广至全局射影设定。

提出的方法

• 沿利普希茨束的基底奇点$\mathcal{R}$进行爆破$\pi: V \to M$，以消除梅罗函数$f$的未定性。
• 利用在$\pi^{-1}(\mathcal{R})$上具有任意阶极点的梅罗$n$-形式，在$\mathbb{P}^1$上构造三个解析层$\mathcal{H}^n$、$\,^{\prime}\mathcal{H}^n$、$\,^{\prime\prime}\mathcal{H}^n$。
• 在这些层上定义一个具有极点除子$\tilde{C}$（其支撑位于$f_0$的临界值）的梅罗高斯-曼因联络$\nabla$。
• 证明层$\mathcal{H}^n$、$\,^{\prime}\mathcal{H}^n$、$\,^{\prime\prime}\mathcal{H}^n$在$\mathbb{P}^1$上是秩为$\beta_n$的局部自由层。
• 在这些层限制到$\mathbb{P}^1 - C$时，与原始相对上同调丛及其高斯-曼因联络之间建立典范同构。
• 将全局Brieskorn模$H^n$、$\,^{\prime}H^n$、$\,^{\prime\prime}H^n$定义为在$\mathbb{P}^1$的无穷远点$\infty$处具有任意阶极点的全局梅罗截面的$\mathbb{C}[t]$-模。

实验结果

研究问题

• RQ1 Brieskorn关于梅罗联络与Brieskorn模的局部构造能否被推广至$\mathbb{P}^1$上利普希茨束的全局设定？
• RQ2 当基空间被紧化为$\mathbb{P}^1$时，扩展的相对上同调丛及其高斯-曼因联络的结构如何？
• RQ3 在无穷远处有极点的扩展上同调丛的全局梅罗截面是否同构于一个自由$\mathbb{C}[t]$-模？
• RQ4 在利普希茨束的背景下，全局Brieskorn模与扩展上同调层之间有何关系？
• RQ5 上同调丛与联络的扩展是否在全局范围内保持高斯-曼因结构？

主要发现

• 扩展的上同调层$\mathcal{H}^n$、$\,^{\prime}\mathcal{H}^n$与$\,^{\prime\prime}\mathcal{H}^n$是秩为$\beta_n$的$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$-层的局部自由模。
• 这些层上的梅罗高斯-曼因联络$\nabla$的极点恰好位于$f_0$的临界值处，其极点除子为$\tilde{C}$。
• 在$\mathbb{P}^1 - C$上限制这些扩展层时，与原始相对上同调丛及其高斯-曼因联络之间存在典范同构。
• 全局Brieskorn模$H^n$、$\,^{\prime}H^n$与$\,^{\prime\prime}H^n$同构于相应扩展层在$\infty \in \mathbb{P}^1$处具有任意阶极点的全局梅罗截面的$\mathbb{C}[t]$-模。
• 全局Brieskorn模$H^n$、$\,^{\prime}H^n$与$\,^{\prime\prime}H^n$是秩为$\beta_n$的自由$\mathbb{C}[t]$-模。
• 该结果确认并推广了C. Sabbah的已知结果，表明在此全局设定下Brieskorn模在$\mathbb{C}[t]$上是自由的。