[论文解读] Relative differential characters

Mark Brightwell, Paul Turner|ArXiv.org|Aug 24, 2004

Numerical methods for differential equations参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文通過比較兩種定義——一種是推廣Cheeger-Simons理論，另一種是基於Hopkins-Singer的上鏈複形方法——建立了相對微分特徵的嚴謹框架。證明了相對Hopkins-Singer群是相對Cheeger-Simons群某子群的商群，從而解決了在兩者之間存在映射的流形的相對微分上同調理論中的一個基礎性模糊問題。

ABSTRACT

There are two natural candidates for the group of relative Cheeger-Simons differential characters. The first directly extends the work of Cheeger and Simons and the second extends the description given by Hopkins and Singer of the Cheeger-Simons group as the homology of a certain cochain complex. We discuss both approaches and relate the two relative groups.

研究动机与目标

• 釐清在光滑映射 ρ: A → M 的背景下，兩種競爭性的相對微分特徵定義之間的關係。
• 透過對其原始構造的自然推廣，將Cheeger-Simons的微分特徵理論推廣至相對設定。
• 透過類似於Hopkins-Singer對絕對情況的處理方式，利用鏈複形提供相對微分特徵的上同調描述。
• 證明相對Hopkins-Singer群適合於一個長正合序列，而相對Cheeger-Simons群則不然。
• 建立兩種相對群之間精確的代數關係，表明其中一個是另一個子群的商群。

提出的方法

• 將相對Cheeger-Simons群 Ĥ^k(ρ) 定義為同態 f: Z_{k-1}(M) × Z_{k-1}(A) → ℝ/Λ 的群，使得 f∘∂ 的值落在 Ω^k(M) 中，且與 ρ 的拉回滿足相容性條件。
• 構造一個上鏈複形 Ĉ^*(ρ)，其上同調計算相對Cheeger-Simons群，並將Hopkins-Singer複形推廣至相對情形。
• 將相對Hopkins-Singer群 Ȟ^k(ρ) 定義為係數取自 Ω^k(ρ)、Ω^{k-1}(ρ) 和 C^k(ρ) 的上鏈複形的上同調，其微分算子結合了上邊界算子與曲率映射。
• 建立一個包含 Ω^k-1(M)/Ω̃^k-1(M)、Ĥ_0^k(ρ) 和 Ȟ^k(ρ) 的短正合序列，證明 Ĥ_0^k(ρ) 對 Ȟ^k(ρ) 的映射是滿射。
• 利用複形短正合序列所導出的上同調長正合序列，證明邊界映射 δ: Ω^k-1(M)/Ω̃^k-1(M) → Ĥ_0^k(ρ) 的像與透過拉回定義的映射 φ 一致。
• 證明投影 p: Ȟ^k(ρ) → Ω^k(M)/Ω̃^k(M) 是平凡的，這表明序列 0 → Ω^k-1(M)/Ω̃^k-1(M) → Ĥ_0^k(ρ) → Ȟ^k(ρ) → 0 是正合的。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於具有光滑映射 ρ: A → M 的對 (M, A)，Cheeger-Simons微分特徵的正確相對推廣是什麼？
• RQ2 兩種自然的相對微分特徵定義——一種是直接推廣Cheeger-Simons，另一種是基於Hopkins-Singer上鏈複形——之間的關係是什麼？
• RQ3 相對Hopkins-Singer群是否適合於一個長正合序列？若是，它與相對Cheeger-Simons群所滿足的正合序列相比如何？
• RQ4 相對Hopkins-Singer群是否同構於相對Cheeger-Simons群某子群的商群？
• RQ5 相對上同調複形的長正合序列中的邊界映射能否以微分形式與拉回的語言明確描述？

主要发现

• 相對Cheeger-Simons群 Ĥ^k(ρ) 定義為同態 f: Z_{k-1}(M) × Z_{k-1}(A) → ℝ/Λ 的群，使得 f∘∂ 的值落在 Ω^k(M) 中，且與 ρ 的拉回滿足相容性條件。
• 相對Cheeger-Simons群適合三個短正合序列，類似於絕對情形，分別涉及實上同調、整上同調與曲率形式。
• 相對Hopkins-Singer群 Ȟ^k(ρ) 定義為包含 M 和 A 上的鏈、具有 Λ-週期的 M 和 A 上的微分形式，以及結合上邊界與曲率映射的微分算子的上鏈複形的上同調。
• 相對Hopkins-Singer群適合一個長正合序列，這使其與相對Cheeger-Simons群區分開來。
• 映射 J: Ĥ_0^k(ρ) → Ȟ^k(ρ) 是滿射，且 J 的核同構於 Ω^k-1(M)/Ω̃^k-1(M)，從而確立 Ȟ^k(ρ) 同構於 Ĥ_0^k(ρ) 關於此子群的商群。
• 邊界映射 δ: Ω^k-1(M)/Ω̃^k-1(M) → Ĥ_0^k(ρ) 明確給出為 δ([η]) = ((0,0), (η,0), (0, ρ^*η))，與透過拉回定義的映射 φ 一致。