[论文解读] Relative (non-)formality of the little cubes operads and the algebraic Cerf Lemma

Victor Tourtchine, Thomas Willwacher|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文建立了实数域上小立方体操作族 $E_n \to E_{n+k}$ 的相对形式性，证明当 $k \geq 2$ 时该映射是形式的，而当 $k = 1$ 时是非形式的。此外，本文计算了 $E_n \to E_{n+1}$ 的形变复形的同调，证明了一个代数版本的 Cerf 引理，表明形变理论完全由 $E_{n+1}$ 的同伦导子通过 cup 乘积控制。

ABSTRACT

It is shown that the operad maps $E_n o E_{n+k}$ are formal over the reals for $k\geq 2$ and non-formal for $k=1$. Furthermore we compute the cohomology of the deformation complex of the operad maps $E_{n} o E_{n+1}$, proving an algebraic version of the Cerf Lemma.

研究动机与目标

• 解决实数域上操作族映射 $E_n \to E_{n+k}$ 的相对形式性问题，特别区分 $k \geq 2$ 与 $k = 1$ 的情况。
• 计算操作族映射 $E_n \to E_{n+1}$ 的形变复形的同调，建立其与拓扑 Cerf 引理的代数对应。
• 通过操作族映射的形变理论，理解 $n$-流形到 $n+1$-流形的嵌入的刚性。
• 将 $E_n \to E_{n+1}$ 的代数形变理论与嵌入空间及微分同胚群的拓扑联系起来。
• 在操作族映射的背景下，提出关于导出双模与导子之间对偶性的普遍猜想，推广至任意系数。

提出的方法

• 采用 Kontsevich-Lambrecht-Volić 构造，利用 Fulton-MacPherson 操作族 $\mathsf{FM}_n$ 上的半代数微分形式。
• 通过次数计数论证，证明当 $k \geq 2$ 时，从 $\mathsf{FM}_{n+k}$ 到 $\mathsf{FM}_n$ 的某些形式的限制为零，从而推出形式性。
• 识别出与特定图相关的 $\mathsf{FM}_{n+1}$ 上非零形式，这些形式在限制到 $\mathsf{FM}_n$ 时不为零，从而证明 $k=1$ 时的非形式性。
• 应用操作族映射的形变理论，利用形变复形上的 cup 乘积结构，将其同调与 $E_{n+1}$ 的同伦导子联系起来。
• 利用无界链复形与导出操作族映射的理论，将形变复形的同调与移位后的导子联系起来。
• 借助 Goodwillie-Weiss 计算法与谱序列坍塌结果，将代数形式性与拓扑嵌入空间联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 操作族映射 $E_n \to E_{n+k}$ 在 $\mathbb{R}$ 上对所有 $k \geq 1$ 是否都是形式的？
• RQ2 操作族映射 $E_n \to E_{n+1}$ 的形变复形的同调是什么？它与 $E_{n+1}$ 的导子有何关系？
• RQ3 能否通过同伦导子的 cup 乘积完全捕捉 $E_n \to E_{n+1}$ 的形变理论？
• RQ4 操作族映射 $E_n \to E_{n+k}$ 的相对形式性如何影响嵌入空间 Goodwillie-Weiss 层叠的谱序列？
• RQ5 代数形变复形在多大程度上能刻画微分同胚群 $\mathit{Diff}_\partial(D^{n+1})$ 的奇异链复形？

主要发现

• 操作族映射 $E_n \to E_{n+k}$ 在 $\mathbb{R}$ 上形式当且仅当 $k \geq 2$，$k=1$ 时已确立为非形式性。
• 形变复形 $E_n \to E_{n+1}$ 的同调由 $E_{n+1}$ 的同伦导子的像的 cup 乘积生成，从而证明了代数 Cerf 引理。
• 当 $n \geq 2m + 2$ 时，计算 $H_*(Emb(M^m, \mathbb{R}^n))$ 的谱序列在有理数上于第二项坍塌，改进了先前的界限。
• 对于 $k=1$，$\mathsf{FM}_{n+1}$ 上某些半代数形式在限制到 $\mathsf{FM}_n$ 时不为零，阻碍了形式性，提供了上同调障碍。
• 形变复形 $E_n \to E_{n+1}$ 与 $E_{n+1}$ 的同伦导子的移位复形 quasi-isomorphic，确立了嵌入的刚性。
• 在所研究的情形下，猜想 $\operatorname{hIBim}_{E_m^\mathbb{1}}(E_m^\mathbb{1}, \mathcal{O}) \simeq \mathrm{hDer}_*(E_m \to \mathcal{O})[m+1]$ 在 $\mathbb{R}$ 上成立，形式性与对偶性的证据支持该猜想。