[论文解读] Relative Property (T) Actions and Trivial Outer Automorphism Groups

Damien Gaboriau|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 12

一句话总结

该论文证明了每个非阿贝尔自由积群都存在具有相对性质(T)的自由遍历概率测度保持作用，并首次为具有平凡外自同构群的两个生成元自由群提供了此类作用的例子。通过使用不可数的几乎不相交族和刚性技巧，证明了存在连续统多个非轨道等价的作用，并表明相关等价关系的外自同构群是平凡的。

ABSTRACT

We show that every non-amenable free product of groups admits free ergodic probability measure preserving actions which have relative property (T) in the sense of S.-Popa \cite[Def. 4.1]{Pop06}. There are uncountably many such actions up to orbit equivalence and von Neumann equivalence, and they may be chosen to be conjugate to any prescribed action when restricted to the free factors. We exhibit also, for every non-amenable free product of groups, free ergodic probability measure preserving actions whose associated equivalence relation has trivial outer automorphisms group. This gives in particular the first examples of such actions for the free group on $2$ generators.

研究动机与目标

• 刻画那些允许具有相对性质(T)的自由遍历概率测度保持作用的可数离散群。
• 在自由积中构造相对性质(T)作用时，去除对构成块的算术假设。
• 为非阿贝尔自由积构造具有平凡外自同构群的关联等价关系的作用。
• 将F∞的结果推广到有限秩自由群和一般非初等自由积。
• 证明对于此类群，存在不可数多个非轨道等价的相对性质(T)作用。

提出的方法

• 使用群测度空间构造，在标准概率空间上构造自由p.m.p.作用。
• 应用Popa关于冯诺依曼代数包含关系的相对性质(T)概念，特别是 $ L^∞(X,\mu) \subset L^∞(X,\mu) \rtimes_\sigma \Gamma $。
• 使用 $ \mathbb{N} \setminus \{0\} $ 的无限子集的不可数几乎不相交族 $ \mathcal{E}_1 $ 来生成不同的作用。
• 利用部分同构 $ \varphi_n $ 的遍历性和独立性，证明某些自同构是局部内自同构，因此也是全局内自同构。
• 应用[IPP08]和[MS06]中的刚性结果，推导出冯诺依曼等价蕴含轨道等价。
• 利用在某些条件下刚性Cartan子代数本质上唯一的事实，来控制外自同构群。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些可数离散群允许具有相对性质(T)的自由遍历p.m.p.作用？
• RQ2 是否可以在不施加算术假设的前提下，为非阿贝尔自由积构造相对性质(T)作用？
• RQ3 有限个生成元的自由群是否允许具有平凡外自同构群的关联等价关系的作用？
• RQ4 非阿贝尔自由积是否存在不可数多个非轨道等价的相对性质(T)作用？
• RQ5 当群不是高秩格时，等价关系的外自同构群是否仍可为平凡？

主要发现

• 每个非阿贝尔自由积群都存在自由遍历p.m.p.作用，且具有相对性质(T)，推广了以往需要算术作用结果的限制。
• 此类作用在轨道等价和冯诺依曼等价意义下存在连续统多个。
• 这些作用可被选择为在自由因子上共轭于任意给定的作用。
• 对于每个非阿贝尔自由积 $ \Gamma_1 * \Gamma_2 $，当 $ (|\Gamma_1|-1)(|\Gamma_2|-1) \geq 2 $ 时，存在外自同构群为平凡的作用。
• 首次为两个生成元的自由群提供了此类作用的例子。
• 这些作用的等价关系的外自同构群是平凡的，且该结论对不可数多个非轨道等价作用成立。