[论文解读] Relative symmetric monoidal closed categories I: Autoenrichment and change of base

Rory B. B. Lucyshyn-Wright|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文建立了一个对称闭张量范畴中自富集的2-函子框架，表明将每个此类范畴 $υ$ 映射到其 $υ$-富集对应物 $\underline{\u03c5}$ 的过程可扩展为一个进入一个上-2-纤维化2-范畴的2-函子。关键结果是：对称闭张量范畴之间的伴随关系通过此2-函子性映射，可诱导出 $υ$-富集伴随关系，从而确保伴随关系成为 $υ$-自然且 $υ$-函子性，将经典伴随关系嵌入富集2-范畴结构之中。

ABSTRACT

Symmetric monoidal closed categories may be related to one another not only by the functors between them but also by enrichment of one in another, and it was known to G. M. Kelly in the 1960s that there is a very close connection between these phenomena. In this first part of a two-part series on this subject, we show that the assignment to each symmetric monoidal closed category $V$ its associated $V$-enriched category $\underline{V}$ extends to a 2-functor valued in an op-2-fibred 2-category of symmetric monoidal closed categories enriched over various bases. For a fixed $V$, we show that this induces a 2-functorial passage from symmetric monoidal closed categories $ extit{over}$ $V$ (i.e., equipped with a morphism to $V$) to symmetric monoidal closed $V$-categories over $\underline{V}$. As a consequence, we find that the enriched adjunction determined a symmetric monoidal closed adjunction can be obtained by applying a 2-functor and, consequently, is an adjunction in the 2-category of symmetric monoidal closed $V$-categories.

研究动机与目标

• 形式化对称闭张量范畴中自富集的2-范畴结构，将经典富集概念扩展至2-函子性设定。
• 建立从基 $υ$ 上的对称闭张量范畴2-范畴到对称闭张量 $υ$-范畴的2-函子性映射。
• 证明基 $υ$ 上的对称闭张量伴随关系可通过自富集2-函子自然诱导出 $υ$-富集伴随关系。
• 为相对富集提供2-范畴基础，将格罗滕迪克的相对观点推广至富集范畴理论。
• 恢复并形式化G. M. 凯利此前未发表的结果：富集于基范畴的范畴与映射到该基范畴的范畴之间存在等价关系。

提出的方法

• 本文构建了一个从对称闭张量范畴2-范畴到其在不同基上富集的范畴所构成的上-2-纤维化2-范畴的2-函子。
• 采用自富集构造 $\mathscr{V} \mapsto \underline{\mathscr{V}}$，其中 $\mathscr{V}$ 通过其内部同态与张量结构在自身中富集。
• 通过证明对称闭张量范畴之间的函子、自然变换与伴随关系可提升为富集态射与富集2-细胞，确立了2-函子性。
• 应用范畴理论中的伴随法则（Kelly, 1972），表明富集伴随关系由底层伴随关系与基范畴 $\mathscr{V}$ 唯一确定。
• 验证了张量函子的对偶是反张量的，从而确保 $υ$-富集范畴之间的伴随关系与富集结构相容。
• 利用比较同构 $K^G: \mathscr{M} \to (G_*\underline{\mathscr{M}})_0$ 将富集范畴的底层范畴与原始范畴相等化，确保富集的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将对称闭张量范畴 $\mathscr{V}$ 的自富集形式化为一个2-函子？
• RQ2 配备到基 $\mathscr{V}$ 的映射的对称闭张量范畴与对称闭张量 $\mathscr{V}$-范畴之间，其2-范畴关系为何？
• RQ3 基 $\mathscr{V}$ 上的对称闭张量伴随关系 $F \dashv G$ 如何通过自富集2-函子诱导出 $\mathscr{V}$-富集2-范畴中的富集伴随关系？
• RQ4 在何种意义上，富集伴随关系结构完全由底层伴随关系与基范畴 $\mathscr{V}$ 决定？
• RQ5 经典结果——$\mathscr{V}$-富集范畴可由映射到 $\mathscr{V}$ 的函子导出——是否可在2-范畴框架下被恢复并推广？

主要发现

• 映射 $\mathscr{V} \mapsto \underline{\mathscr{V}}$ 可扩展为从对称闭张量范畴2-范畴到富集范畴上-2-纤维化2-范畴的2-函子。
• 对于任意配备有映射 $G: \mathscr{M} \to \mathscr{V}$ 的对称闭张量范畴 $\mathscr{M}$，范畴 $\mathscr{M}$ 自然地获得一个对称闭张量 $\mathscr{V}$-范畴的结构。
• 对称闭张量伴随关系 $F \dashv G$ 在对称闭张量 $\mathscr{V}$-范畴的2-范畴中诱导出一个 $\mathscr{V}$-富集伴随关系 $\acute{F}_0 \dashv \grave{G}_0$。
• $\mathscr{V}$-富集伴随关系由底层伴随关系与基范畴 $\mathscr{V}$ 唯一确定，依据伴随法则的范畴论。
• 比较同构 $K^G: \mathscr{M} \to (G_*\underline{\mathscr{M}})_0$ 将富集范畴的底层范畴与 $\mathscr{M}$ 相等化，确保富集的一致性。
• 该结果推广了代数几何中的经典例子，如概形上的层范畴或导出范畴之间的 $g^* \dashv g_*$，表明它们自然地是 $\mathscr{V}$-富集伴随关系。