[论文解读] Relatively Prime Sets, Divisor Sums, and Partial Sums

Prapanpong Pongsriiam|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文研究了集合 {1, 2, ..., n} 中互素子集的数量 f(n)，以及相关函数 Φ(n) 和 D(n)，其中 D(n) 是 f(d) 的除数和。通过 Möbius 反演和组合恒等式，作者推导出部分和与渐近极限，表明 f(n)、Φ(n) 和 D(n) 的部分和与 2^{N+1} 密切接近，且具有精确的上极限和下极限行为。一个关键结果是同余性质 D(n) + d(n) + 1 ≡ 0 (mod 3)，以及 D(n) 的组合解释：即 gcd(A) 整除 n 的子集 A ⊆ {1,2,…,n} 的数量。

ABSTRACT

For a nonempty finite set $A$ of positive integers, let $\gcd\left(A ight)$ denote the greatest common divisor of the elements of $A$. Let $f\left(n ight)$ and $Φ\left(n ight)$ denote, respectively, the number of subsets $A$ of $\left\{1, 2, \ldots, n ight\}$ such that $\gcd\left(A ight) = 1$ and the number of subsets $A$ of $\left\{1, 2, \ldots, n ight\}$ such that $\gcd\left(A\cup\left\{n ight\} ight) =1$. Let $D\left(n ight)$ be the divisor sum of $f\left(n ight)$. In this article, we obtain partial sums of $f\left(n ight)$, $Φ\left(n ight)$ and $D\left(n ight)$. We also obtain a combinatorial interpretation and a congruence property of $D\left(n ight)$. We give open questions concerning $Φ\left(n ight)$ and $D\left(n ight)$ at the end of this article.

研究动机与目标

• 分析 f(n)、Φ(n) 和 D(n) 的部分和的渐近行为，其中 f(n) 计数 {1,2,…,n} 中互素子集的数量，Φ(n) 计数与 n 互素的非空子集的数量。
• 推导 f(n)、Φ(n) 和 D(n) 的部分和与期望值 2^{N+1} 偏差的精确渐近极限。
• 将 D(n) 组合解释为满足 gcd(A) 整除 n 的子集 A ⊆ {1,2,…,n} 的数量。
• 建立同余性质：对所有 n ≥ 1，有 D(n) + d(n) + 1 ≡ 0 (mod 3)，其中 d(n) 是 n 的正因数个数。
• 提出关于 Φ(n) 和 D(n) 相对于 2^n 的接近程度，以及其长期符号行为和比值的开放问题。

提出的方法

• 使用 Möbius 反演推导闭式表达：f(n) = ∑_{d≤n} μ(d)(2^{⌊n/d⌋} - 1) 和 Φ(n) = ∑_{d|n} μ(d)(2^{n/d} - 1)。
• 应用恒等式 f(n+1) = 2(Φ(n+1) + f(n)) 关联 f(n) 和 Φ(n)，并利用此关系推导递推和同余性质。
• 采用除数和 D(n) = ∑_{d|n} f(d)，并通过缩放子集并计数缩放后集合的互素子集，建立其组合解释。
• 使用变换 A → (1/d)A（其中 d|n）证明 D(n) 计数满足 gcd(A) 整除 n 的子集 A ⊆ {1,2,…,n}。
• 应用 Möbius 函数的已知结果和恒等式 ∑_{d|n} μ(d) = 0（当 n > 1 时），简化求和并推导同余式。
• 通过与 2^{N+1} - 2 比较，分析部分和 ∑_{n≤N} f(n)、∑_{n≤N} Φ(n) 和 ∑_{n≤N} D(n) 的增长，推导涉及 2^{N/2} 的上极限和下极限比值。

实验结果

研究问题

• RQ1 D(n) - Φ(n) 的符号是否对所有 n ≥ 4 交替？
• RQ2 当 n 增大时，D(n) - Φ(n) 是否无限次改变符号？
• RQ3 当 n → ∞ 时，比值 (2^n - D(n)) / (2^n - Φ(n)) 的上极限和下极限为何值？
• RQ4 是否存在 n ≥ 2 使得 D(n) 或 Φ(n) 为完全幂？
• RQ5 序列 D(n) 和 Φ(n) 是否在模素数 p 下周期？

主要发现

• 部分和 ∑_{n≤N} f(n) 满足：limsup_{N→∞} |∑_{n≤N} f(n) - 2^{N+1}| / 2^{N/2} = 3，且 liminf = 2√2。
• 部分和 ∑_{n≤N} Φ(n) 满足：limsup_{N→∞} |∑_{n≤N} Φ(n) - 2^{N+1}| / 2^{N/2} = 2，且 liminf = √2。
• 部分和 ∑_{n≤N} D(n) 满足：limsup_{N→∞} |∑_{n≤N} D(n) - 2^{N+1}| / 2^{N/2} = √2，且 liminf = 1。
• D(n) 组合解释为满足 gcd(A) 整除 n 的子集 A ⊆ {1,2,…,n} 的数量。
• 对所有 n ≥ 1，有同余式 D(n) + d(n) + 1 ≡ 0 (mod 3)，其中 d(n) 是 n 的正因数个数。
• Φ(n) 和 D(n) 渐近接近 2^n，但其相对接近程度在 4 ≤ n ≤ 15 时符号交替，提示该范围外可能存在符号交替。