[论文解读] Relativistic-covariant Bohmian mechanics with proper foliation

Hrvoje Nikolić|arXiv (Cornell University)|May 18, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文通过直接从多体波函数推导出特定于粒子的、定义叶状结构的四维向量 $f_{\mu_a}(x_a)$，提出了一种相对论协变的德布罗意-玻姆力学形式。该方法消除了对外部任意结构的依赖，确保在恰当超面上的概率密度保持等价性，从而解决了德布罗意-玻姆力学非局域性与相对论性之间长期存在的矛盾，实现了由波函数定义的优选叶状结构。

ABSTRACT

In classical relativistic mechanics, a "preferred" proper direction in spacetime for each particle is determined by the direction of its 4-momentum. Analogously, for each quantum particle we find a local direction uniquely determined by the many-particle wave function, which for each particle defines the proper foliation of spacetime. This can be used to formulate a relativistic-covariant version of Bohmian mechanics, with equivariant probability density on proper hypersurfaces.

研究动机与目标

• 解决德布罗意-玻姆力学显式非局域性与相对论协变性之间长期存在的矛盾。
• 通过直接从多体波函数推导出优选叶状结构，消除对外部引入的四维向量 $N^\mu$ 的依赖。
• 在恰当超面上建立一致且相对论协变的概率测度，使其在粒子轨迹下保持等价性。
• 将形式化推广至具有自旋的粒子，确保在洛伦兹变换下变换性质保持不变。

提出的方法

• 从波函数相位梯度推导出特定于粒子的四维向量 $f_{\mu_a}(x_a)$，将经典四维动量概念推广至量子系统。
• 利用守恒的 $n$-向量 $j_{\mu_1\ldots\mu_n} = \psi^* \Gamma_{\mu_1} \cdots \Gamma_{\mu_n} \psi$ 定义粒子流和概率密度。
• 通过向量场 $f_{\mu_a}(x_a)$ 定义每个粒子的恰当叶状结构，该向量在粒子静止参考系中成为超面的法向量。
• 应用高斯定理表明，任意一组超面上的归一化积分保持守恒，从而确保概率等价性。
• 通过旋量流 $j_{\mu_1\ldots\mu_n} = \psi^\dagger \Gamma_{\mu_1} \cdots \Gamma_{\mu_n} \psi$ 将形式化推广至自旋-1/2 及更高自旋粒子，确保其张量变换性质正确。
• 重新解释旋量变换规则，使 $j_{\mu_1\ldots\mu_n}$ 作为协变 $n$-向量变换，保持相对论协变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不引入任意优选叶状结构的前提下，构建一种相对论协变的德布罗意-玻姆力学？
• RQ2 在相对论背景下，是否存在一种自然的、由波函数导出的量，可定义粒子的恰当时空叶状结构？
• RQ3 能否仅通过波函数本身定义的恰当超面，使德布罗意-玻姆力学中的概率密度保持等价性？
• RQ4 如何在保持相对论协变性的同时，将该形式化一致地推广至具有自旋的粒子，特别是自旋-1/2 粒子？
• RQ5 当旋量被重新定义为标量变换时，电流 $j_{\mu_1\ldots\mu_n}$ 在坐标变换下的变换行为是什么？

主要发现

• 本文推导出一个唯一、由波函数决定的四维向量 $f_{\mu_a}(x_a)$，用于定义每个粒子的恰当叶状结构，从而取代了对外部 $N^\mu$ 的依赖。
• 概率密度 $\tilde{p} = \tilde{N}^{\mu_1} \cdots \tilde{N}^{\mu_n} j_{\mu_1\ldots\mu_n}$ 在由 $f_{\mu_a}$ 定义的恰当超面上被证明是等价的，确保与量子概率的一致性。
• 归一化积分 $\int_{\Sigma_1} d^3x_1 \cdots \int_{\Sigma_n} d^3x_n \, \tilde{p}$ 在不同超面上保持守恒，即使这些超面并非处处类空，这是由于 $j_{\mu_1\ldots\mu_n}$ 的守恒性及高斯定理的作用。
• 对于自旋-1/2 粒子，$j'_{\mu_1\ldots\mu_n} = \bar{\psi} \gamma_{\mu_1} \cdots \gamma_{\mu_n} \psi$ 因其时间分量为正定而更受青睐，但使用 $j_{\mu_1\ldots\mu_n} = \psi^\dagger \Gamma_{\mu_1} \cdots \Gamma_{\mu_n} \psi$ 的形式化被证明在重新定义的旋量变换下仍保持协变性。
• 旋量变换规则的重新定义确保了电流和概率密度均作为适当的张量变换，从而保持了相对论协变性。
• 该方法提供了一种唯一、一致且协变的德布罗意-玻姆力学形式化，其中叶状结构、概率密度和粒子轨迹均由波函数本身唯一确定。