[论文解读] Relativistic SU(4) and Quaternions

Rolf Dahm|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 1996

Particle physics theoretical and experimental studies被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于 SU(4) 对称性和四元数的相对论性强子理论，通过 SU(4) 表示统一了自旋-同位旋结构，并通过李代数同构将该理论与 de Sitter 代数 so(5,1) 联系起来。该理论构建了四元数型狄拉克旋量，并利用可除代数建立了几何框架，将 SL(2,ℍ) 与 SU*(4) 联系起来，同时通过 so(4,1) 的收缩得到庞加莱代数。

ABSTRACT

A classification of hadrons and their interactions at low energies according to SU(4) allows to identify combinations of the fifteen mesons $π$, $ω$ and $ρ$ within the spin-isospin decomposition of the regular representation hdmulti{15}. Chirally symmetric SU(2)$ imes$SU(2) hadron interactions are then associated with transformations of a subgroup of SU(4). Nucleon and Delta resonance states are represented by a symmetric third rank tensor hdmulti{20} whose spin-isospin decomposition leads to $4\oplus 16$ `tower states' also known from the large-N$_c$ limit of QCD. Towards a relativistic hadron theory, we consider possible generalizations of the stereographic projection {\bf S}$^{2}$ $ o$ {\bf C} and the related complex spinorial calculus {\it on the basis of the division algebras with unit element}. Such a geometrical framework leads directly to transformations in a quaternionic projective `plane' and the related symmetry group SL(2,{\bf H}). In exploiting the Lie algebra isomorphism sl(2,{\bf H}) $\cong$ su$*$(4) $\cong$ so(5,1), we focus on the Lie algebra su$*$(4) to construct quaternionic Dirac-like spinors, the associated Clifford algebra and the relation to SU(4) by Weyl's unitary trick. The algebra so(5,1) contains the de Sitter-algebra so(4,1) which can be contracted to the algebra of the Poincaré group.

研究动机与目标

• 将基于 SU(4) 对称性的低能强子现象学扩展至相对论性框架。
• 在 SU(4) 表示中统一介子与重子（如核子、Δ共振态）的自旋-同位旋结构。
• 利用可除代数与球极投影，为相对论性强子理论建立几何基础。
• 通过收缩方法推导 de Sitter 代数 so(5,1) 与庞加莱代数之间的联系。
• 构建四元数型狄拉克旋量，并通过外尔的单位化技巧与克利福德代数将其与 SU(4) 关联。

提出的方法

• 通过 SU(4) 的 15 维正则表示对介子进行分类，将其分解为自旋-同位旋态。
• 将核子与 Δ 共振态表示为 SU(4) 的 20 维表示中的对称三阶张量，得到 4 ⊕ 16 的“塔态”结构。
• 将从 S² 到 ℂ 的球极投影推广至四元数，导出四元数射影平面。
• 利用李代数同构 sl(2,ℍ) ≅ su*(4) ≅ so(5,1) 定义四元数旋量及其相关的克利福德代数。
• 应用外尔的单位化技巧，将非紧致群 SU*(4) 与紧致群 SU(4) 关联，实现单位化实现。
• 将庞加莱代数作为 de Sitter 代数 so(4,1) 的收缩推导得出，且嵌入于 so(5,1) 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用四元数将 SU(4) 对称性扩展至强子的相对论性框架？
• RQ2 李代数同构 sl(2,ℍ) ≅ su*(4) ≅ so(5,1) 在构建相对论性旋量中起什么作用？
• RQ3 SU(4) 的 20 维表示及其自旋-同位旋分解与 QCD 的大-Nc 极限有何关联？
• RQ4 基于可除代数与球极投影的几何框架能否导出一致的相对论性强子理论？
• RQ5 在此形式体系中，de Sitter 代数 so(5,1) 如何收缩为庞加莱代数？

主要发现

• SU(4) 的 15 维表示成功地将低能介子（π, ρ, ω）按自旋-同位旋态进行分类。
• SU(4) 的 20 维表示中的对称三阶张量产生 4 ⊕ 16 的分解，与 QCD 大-Nc 极限中观测到的“塔态”结构一致。
• de Sitter 代数 so(5,1) 包含 so(4,1)，后者可收缩为庞加莱代数，为相对论性运动学提供了基础。
• 通过同构 sl(2,ℍ) ≅ su*(4) 构建了四元数型狄拉克旋量，实现了相对论性旋量形式体系。
• 推导出四元数上的克利福德代数，并通过外尔的单位化技巧与 SU(4) 关联，确保了单位化一致性。
• 基于可除代数与球极投影的几何框架将复旋量微积分推广至四元数，得出 SL(2,ℍ) 为相关对称群。