[论文解读] Relevant sampling of the short-time Fourier transform of time-frequency localized functions

Gino Angelo Velasco|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 23被引用 8

一句话总结

本论文通过证明在紧致时频区域 Ω 内，足够密集的随机采样点集可高概率、可控地满足采样不等式，为时频局部化函数的短时傅里叶变换（STFT）建立了一个相关采样框架。关键贡献在于将 Bass 和 Gröchenig 的相关采样方法推广至 Gabor/STFT 设置，提出了针对集中在 Ω 内函数的 STFT 的概率性采样不等式。

ABSTRACT

We study the random sampling of the short-time Fourier transform of functions that are localized in a compact region in the time-frequency plane. We follow the approach introduced by Bass and Gröchenig for band-limited functions, and show that with a high, controllable probability, a sufficiently dense set of local random samples from the region of concentration in the time-frequency plane yields a sampling inequality for the short-time Fourier transform of time-frequency localized functions on the region.

研究动机与目标

• 开发针对在紧致区域 Ω ⊂ ℝ² 内局部化的函数的 STFT 的相关采样理论。
• 通过 STFT 将原本针对带限函数的相关采样方法扩展至时频局部化函数。
• 利用受限于 Ω 的随机局部采样，建立 STFT 的采样不等式。
• 提供概率保证：当 Ω 上的随机采样集足够密集时，可实现对时频局部化函数的稳定重构。
• 通过最小二乘优化方法，演示从局部 STFT 采样中实现近似重构。

提出的方法

• 该方法使用时频局部化算子 $ H_{\text{Ω,φ}} $ 定义在 Ω 上 $ (\varepsilon, \varphi) $-集中于 Ω 的函数。
• 考虑由 $ H_{\text{Ω,\varphi}} $ 的前 $ N $ 个特征函数张成的子空间 $ V_N $，其对应特征值大于 γ。
• 首先针对 $ V_N $ 中的函数证明了随机采样不等式，利用了测度集中性与算子范数界。
• 通过在 $ V_N $ 中的逼近，将结果推广至一般的 $ (\varepsilon, \varphi) $-集中函数，使用误差界 $ \| (I - \mathcal{P}_{V_N})f \|_2^2 \leq \frac{\varepsilon}{1 - \gamma} \|f\|_2^2 $。
• 通过在 $ V_N $ 上的最小二乘最小化实现近似重构，使用共轭梯度法求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致时频区域 Ω 内，随机局部采样集是否可为时频局部化函数的 STFT 提供稳定采样不等式？
• RQ2 当 Ω 上的随机采样集足够密集时，其确保集中在 Ω 内的函数的 STFT 满足采样不等式的概率是多少？
• RQ3 浓度参数 ε 和子空间 $ V_N $ 如何影响从局部 STFT 采样中重构时频局部化函数的误差？
• RQ4 在多大程度上可从受限于 Ω 的有限组随机采样中重构函数的 STFT？
• RQ5 在相对误差方面，从局部 STFT 采样中进行最小二乘重构的定量性能如何？

主要发现

• 对于在 Ω 上 $ (\varepsilon, \varphi) $-集中的函数 $ f $，当采样集 $ \Lambda_\Omega \subset \Omega $ 足够密集时，采样不等式以高概率成立。
• 当在 Ω 内使用 $ r = 300 $ 组随机采样时，最小二乘重构的误差被限制在 $ B \cdot \frac{\varepsilon}{1 - \gamma} \|f\|_2^2 $ 以内，其中 $ \gamma = 1/2 $，对高度集中函数的理论误差界约为 $ 1.69 \times 10^{-4} $。
• 数值实验表明，对于集中度较低的函数（$ \varepsilon_1 \approx 0.03 $），相对误差为 $ 3.35 \times 10^{-2} $；对于更集中的函数（$ \varepsilon_2 \approx 1.8 \times 10^{-9} $），相对误差为 $ 2.07 \times 10^{-7} $，与理论误差界一致。
• 当 $ f \in V_N $ 且采样集构成框架时，可实现完美重构，共轭梯度法在 47 次迭代内达到 $ 10^{-12} $ 的容差。
• 该方法提供了一个概率框架，通过调节密度和浓度参数，可控制采样成功率。
• 结果将 Bass 和 Gröchenig 的相关采样方法推广至 STFT 和 Gabor 格式，为局部化信号的非规则 Gabor 格架提供了新见解。