[论文解读] Renormalization and quantum modular forms, part II: Mock theta functions

Yingkun Li, Hieu T. Ngo+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

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一句话总结

本文提出了一种q-超几何级数的重整化程序，通过模形式的共轭对称性，从模形式的非全纯部分重构了模形式的缺失傅里叶系数。该方法利用量子模形式与上半平面和下半平面全纯函数之间的对偶性，通过重整化级数完成模形式对象，从而证实了弗里曼·戴森关于拉马努金函数中隐藏结构的猜想。

ABSTRACT

Sander Zwegers showed that Ramanujan's mock theta functions are $q$-hypergeometric series, whose $q$-expansion coefficients are half of the Fourier coefficients of a non-holomorphic modular form. George Andrews, Henri Cohen, Freeman Dyson, and Dean Hickerson found a pair of $q$-hypergeometric series each of which contains half of the Fourier coefficients of Maass waveform of eigenvalue $1/4$. This series of papers shows that a $q$-series construction, called ``renormalization'', yields the other half of the Fourier coefficients from a series which contains half of them. This construction unifies examples associated with mock theta functions and examples associated with Maass waveforms. Thus confirming a conviction of Freeman Dyson. This construction is natural in the context of Don Zagier's quantum modular forms. Detailed discussion of the role quantum modular forms play in this construction is given. New examples associated to Maass waveforms are given in Part I. Part II contains new examples associated with mock theta functions, and classical modular forms. Part II contains an extensive survey of the ``renormalization'' construction. A large number of examples and open questions which share similarities to the main examples, but remain mysterious, are given.

研究动机与目标

• 解决长期以来从与模theta函数相关的部分q-级数重构完整非全纯模形式的问题。
• 形式化一种重整化构造，将模theta函数和Maass波函数的示例统一于同一框架下。
• 明确量子模形式在连接全纯q-级数与非全纯模形式对象之间的精确作用。
• 通过重整化方法，提供新的3/2权模theta函数和经典模形式的示例。
• 识别并分析那些抵抗标准模解释的神秘q-级数，提出量子模形式理论中的新开放问题。

提出的方法

• 通过从有限部分和中减去部分和的无穷极限，定义重整化q-级数，从而在有理点的余稠密子集上获得收敛级数。
• 构造两个全纯函数：一个在上半平面ℍ，一个在下半平面ℍ⁻，各自编码模形式的一半傅里叶系数。
• 利用量子模形式理论，在子集S ⊂ ℚ上定义一个函数，使两个级数在此处相等，从而实现信息从ℍ向ℍ⁻的‘泄漏’。
• 将重整化程序应用于q-超几何级数，如σ(q)、σ*(q)及其他类模theta函数的级数，以恢复完整的模形式对象。
• 将重整化级数与已知模形式及部分theta函数相关联，特别是通过涉及除数函数和无限乘积的恒等式。
• 刻画重整化过程中的‘幽灵项’，表明它们通常表现为模形式乘以除数函数或部分theta函数的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 该重整化程序是否可系统性地应用于所有模theta函数，以重构其关联的非全纯模形式？
• RQ2 上半平面与下半平面函数在子集S ⊂ ℚ上相等的集合，与关联模形式的尖点性之间存在何种精确关系？
• RQ3 为何某些重整化级数（如∑(1/(q)_n² - 1/(q)_∞²)）表现出与除数函数和秩生成函数相关的算术行为？
• RQ4 是否存在一种普遍结构，用于控制重整化过程中幽灵项的选择，特别是当它们表现为模形式乘以部分theta函数或除数函数时？
• RQ5 能否为形如∑(f_n(q) - f_∞(q))的重整化级数关联新的模形式对象，特别是在L_6(q⁻¹)或与秩相关的级数情况下？

主要发现

• 重整化构造成功地从仅包含一半傅里叶系数的q-级数中恢复了非全纯模形式的完整傅里叶系数，证实了戴森的猜想。
• 级数σ(q)和σ*(q)分别编码了特征值为1/4的Maass波函数φ₀(z)的正负傅里叶系数，其中S(n) = T(24n+1)，S*(n) = T(1−24n)。
• 重整化级数∑(1/(q)_n² - 1/(q)_∞²)被显式表达为除数函数与部分theta函数的组合，从而与秩生成函数建立联系。
• 对于与秩相关的级数cr(q⁻¹)，重整化和由∑ qⁿ/(1−qⁿ)和∑ (−1)ⁿ⁻¹ q^{n(n+1)/2}/(1−qⁿ)的闭式表达式给出，展现出深刻的算术性质。
• L₆(q⁻¹)的重整化级数被显式计算为2q + 5q² + 2q³ + ...，其q-超几何结构尚不明确，构成了新的开放问题。
• 重整化中的幽灵项通常为模形式乘以除数函数或部分theta函数，提示这些项在量子模形式空间中可能存在分类结构。